Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Примем обозначения:
P (AIB) — условная вероятность события А, вычисленная в предположении, что произошло событие В;
р (AIB1, B2, B3, . . .)—условная вероятность события Л, вычисленная в предположении, что произошли события B1, B2, B3, . . .
События а и в зависимы, если выполняются неравенства
PiAlB) т р(Л)- р{В!А)Фр(В). (17)
В отличие от условной вероятности вероятность независимого события называют иногда безусловной вероятностью (когда эти понятия используются вместе). События Л и ІЗ независимы, если выполняются условия:
P(AlB)-P(A)-. p(bia)-p(b). (18)
В приведенном выше примере >словная вероятность поражения цели при втором выстреле равна вероятности попадания в случае, если первый выстрел сопровождался попаданием в цель, и равна нулю в случае промаха при первом выстреле.
§ 7. УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Одним из примеров сложного события является произведение событий.
Произведением двух или нескольких событий называется сложное событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Пример. Произведено три выстрела по цели. Пусть событие В — Пиладэние при нервом выстреле, событие С — попадание при втором выстреле, событие D — попадание при третьей гшстрелс. Тогда сложное событие ^—попадание всеми тремя выстрелами —
A ^ BCD.
Таким образом, если а —сложное событие, состоящее в совместном появлении событий в, с, d, . . . , IP', то произведение событий будет выражено
A-^B-C-D- (19)
Иногда пишут
.4 - (и B1 и С, ц d, и . . . и w). (20)
В последующем изложении для обозначения произведения событий принята запись (19) как более простая.
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух или нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других, т. е.
p(a1-a2-a3 . . . -a,,)=- p(a1j-p(aja1)/
AP(AJA1A2)- . . . P(AnIA1A2- . . . .д,_,). (21)
В сокращенном виде формулу {2I) можно представить так
р( p(a1) p(a2iaj-p(aja1A2)- . . .
х . . .p(aJ П а?) ¦ (22)
* Здесь и далее знак П означает произведение.
Для вероятности произведения двух зависимых событий А ч В формула (22) принимает вид
р(АВ)^-р(А)-р (BiA) = р(В)-р(А і В). (23)
Если события, составляющие произведение, независимы, то теорема умножения вероятностей упрощается, принимая следующую формулировку:
Вероятность произведения двух или нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Таким образом, если в формуле (22)
P(A2ZA1)^p(A2); P(A3IA1Az) = P(As); . . . . . .P^AJ П A^ = P(An),
P(A1-A2-A3- . . . ¦An)-P(A1)-P(A2)-P(A3)- . . . -р{А„). (24)
Докажем теорему умножения вероятностей для независимых событий, имея при этом в виду, что этот случай для теории ошибок наблюдений является преимущественным, так как в большинстве испытаний удается обеспечить независимость измерений. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы сложения вероятностей проведем по принципу перехода от частного к общему.
Доказательство. Пусть в двух ящиках имеется: в первом — O1 белых и Ь1 — черных шаров, во втором — а2 белых и Ь2 черных шаров. Определить вероятность того, что будут вынуты два белых шара из двух ящиков, если из каждого ящика возьмут по одному шару.
Обозначим: событие A1- появление белого шара из
первого ящика; событие А 2 — появление белого шара из
второго ящика; событие А = A1-A2 — совместное появление двух
белых шаров при взятии по одному из каждого ящика.
Следовательно,
P(A) = P(A1-A2). (25)
Вероятность определим непосредственным подсчетом по формуле (3).
С этой целью сначала определим число благоприятствующих случаев т и число всех возможных случаев п, причем числом случаев при определении тип будет число пар соответствующих шаров (белых или белых и черных вместе).
Каждый белый шар из первого ящика может выпасть в паре с одним из белых шаров из второго ящика а2 раз. Следовательно, всего независимых пар белых шаров может быть
т = а1а3. (26)
Число всех возможных пар, которые можно составить при опыте, равно
«=(ai + bi)(os^fc2). (27)
Вероятность появления двух белых шаров по одному из каждого ящика будет равна
Ip(A)=.-3?!-(28)
Но в выражении (2S)
її
O1 - bj
вероятность появления белого шара из первого ящика,
--P(A2)
а, — 6,
— вероятность появления белого шара из второго ящика. С учетом этого формула (28) примет вид
P(A) = P(AJ-P(A2), I (29)
что и требовалось доказать.
Распространяя полученный результат (29) на случай, когда сложное событие (произведение) составлено из п независимых событий, можно считать доказанным, что
р( П Л() - K1P(At).
(30)
В частном случае, который, кстати сказать, при рассмотрении вопросов в_теории ошибок встречается довольно часто, а именно, когда
P(AJ = P(A2)= . . . =р(А„) = р, обозначив р^П Л і J через Р, можно записать
P = P". (31)
Примеры, а) Игральную кость подбрасывают пяіь раз. Определить вероятность того, что грань с 5-ю очками выпадет при этом пять раз. Решение. Вероятность выпадения 5-ти очков
