Теория ошибок наблюдений - Большаков В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
наблюдены равноточно каждая дважды и получено
V <2. к. - ¦ ¦• 1„,
I1, I2, I3, . . . , In
(491;
P (s-lpM <i- грЛ4J - 0,999.
Из таблиц (прил. 5) для п = 2 и р -- 0,999 находим — 636,6 и р (1,128 м— —636.6-2,8 мм sr SS-: 1,128 + 636,6-2,8 мм) =¦ 0.999; р (— 0,654 === 2,910 м) -- 0,999.*
Получили результат (*). противоречащий элементарному здравому смыслу: измерялся реальный отрезок E 1,1,3 м с ошибкой, гарантирующей определение значения не грубее I см. По теории же (распределение Стьюдента) выходит, что с вероятностью 0,999 точное значение s надо считать заключенным между отрицательной величиной (—0,65 м) и Солее чем удвоенным отрезком (2,91 м)!
Вот почему правы те авторы, которые утверждают, что при л < 8 -ь 10 надежных оценок эмпирических параметров получить нельзя.
Что же касается приведенного примера, то вывод может быть сделан только один: хотя формально распределение Стьюдента можно применять, начиная с п — 2, делать этого не следует, так как полностью искажается точностная картина измерений. В то же время нормальное распределение дает вполне удовлетворительные результаты при п йЛО.
с истинными ошибками
д.. \< Дз. - ¦ *„.
д;. д;. д;— д;.
По определению истинной ошибки (§ 23) с учетом выражений (491), (492) и (490) можно записать:
A1 = Z1-L1, A2 = I2-L2, . . . A\ = l\-Lv A2-I2-L2, . . . Составим разности
A1-A; = /,-/;, д.,-а; - L-/;, ,
' 2 ¦ 1 (494)
А - I —L
п. п а
А'= Г —L.
(493)
A-A' -1-і'
Из формул (494) следует, что разности двойных наблюдений U—1'і = d[ (і = I, 2, . . . , я), выражаемые равенствами (489), равны разностям соответствующих истинных ошибок. Поэтому запишем
<і = д-л;,
(I2-A2-A',
(495)
d ¦- а —А'.
Il и п
Возведем в квадрат равенства (495)
^-д^-ьд^гдд,
d\ = A\+ а2'-2\2а:2,
<іа=--Д2 + Д" —2Л A'.
(496)
Суммируя левую и правую части равенств (496) и деля суммы на число разностей d;, получим
Д'
|ДД")
п її n п
В формуле (497) для независимых наблюдений ІДД'і
(497)
Hm
= M (AA') = M (A) M (A') = 0;
следовательно.
Id2
|Д21
Д'
(498)
Но так как наблюдения равноточны, в формуле (498)
Ж = 1^1 ^m', (499)
п п
где т — средняя квадратическая ошибка одного наблюдения. С учетом (499) равенство (498) примет вид
2m2 = J^- - т% (500)
откуда
m=Vi?- (501)
По формуле (501) и вычисляется средняя квадратическая ошибка одного наблюдения по разностям двойных наблюдений d,-.
Приближенные значения искомых величин L11L2, L3, . . . , Ln, полученные из наблюдений, вычисляются как средние арифметические из результатов двойных наблюдений, т. е.
VHi 7 Vf'2 . , VfC
1\-—— , h =---, ^
Очевидно, что
т^-т ^^V^-LA/-^L, (502)
h СР V2 2 V п К
так как — среднее арифметическое из двух результатов.
Формулу (501) можно получить и несколько иным путем. Запишем
Ci1-I-I: (i=U 2, 3.....п);
рассматривая разности d,- как функции двойных независимых наблюдений, по формуле (335) имеем
т\-т\±т\,. (503)
Так как яг, = пгг — т, то
md = т л/Т. (504)
В то же время по формуле (500)
Из[ формул (504) и (500) следует
V 2п
В случае, когда разности d,- — функции зависимых (коррелированных) наблюдений, вместо формулы (503) получим
т\ - т\~ ni\, — 2mfrivrhl, (506)
пли с учетом равноточностп
т*=2т2 — 2т*г1Г; (506')
окончательно \rjV — г\
m=A/_i^J--. (507)
У 2п(1-0
Если в ряде разностей двойных наблюдений (495) содержатся
значительные систематические ошибки, величина -^- будет заметно
п
отличаться от нуля. Предполагая, что разности <з,- содержат в данном случае постоянную систематическую ошибку, ее можно исклю-
чнть, вычитая из а, величину H -=-, т. е.
п
d-2- d2-Q,
d' -- d — 0,
(508)
где d' (і — 1, 2, 3, . . . , п) — разности двойных наблюдений, свободные от систематической ошибки. Складывая левую и правую части равенства (508), получим
\d'\- [d) — п0=-0. (509)
Таким образом, алгебраическая сумма разностей двойных равноточных наблюдений, свободных от систематической ошибки, равна нулю при любом числе наблюдений. На этом основании разности можно рассматривать как отклонения результатов равноточных наблюдений от простой арифметической средины. Подставляя в формулу (409) [d'2] вместо [Vі], получим
тй--л/-^-- (510)
V п — 1
или в соответствии с формулой (500)
m^A/_i^L_. (511)
V 2(п-1)
Для коррелированных наблюдений аналогично формуле (507) пол учим
т —
л/-^--¦ (512)
V 2(fi-l)(l-r)
Вычисление суммы [d' ] можно проконтролировать по формуле
U"] - Id2] -
(513)
Справедливость формулы (513) подтверждается, если равенства (508) возвести в квадрат и получить суммы левой и правой частей, т. е.
d[' = d\-\-№ — 2Gd1,
d=dl-Q2 — 2Qd..
и далее
Id]*
2 W.[dj=M-
Wl2
(514)
§ 51. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПО РАЗНОСТЯМ ДВОЙНЫХ НЕРАВНОТОЧНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ
Рассмотрим теперь другой случай, а именно: пусть некоторые однородные величины L1, /,„, L3, . . . , Ln наблюдены дважды, причем каждая пара наблюдений по отношению к другой является неравноточной (наблюдения в паре равноточные). В результате наблюдений получены
