Фондовый рынок: Учебное пособие для высших учебных заведений экономического профиля - Берзон Н.И.
ISBN 5-7755-0057-1
Скачать (прямая ссылка):
Ер = ХіГ/+X2E2,
огр = Х\о\ + Х\о\ + 2QnO1O2X1X2 = ?, = ^2P2-
Вообще, в отличие от вариации, коэффициент ? аддитивен, что делает его очень удобным для оценки риска портфеля в целом:
?,
Прямая рынка капитала описывается уравнением: E = r + JjZlLa.
Глава 11. Управление портфелем ценных бумаг_389
11.2. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ПОРТФЕЛЯ
Для того чтобы составить эффективный портфель, необходимо найти точку касания границы эффективности с кривой безразличия инвестора (рис. 11.12). Предположим, инвестор намечает иметь в портфеле N определенных ценных бумаг. Ему необходимы характеристики этих бумаг, т.е. ожидаемые доходности Eh риск ст„ и знать или вычислить коэффициенты корреляции Гу между всеми парами выбранных бумаг. Для удобства дальнейшего описания будем пользоваться ковариациями Сц = PyOjOj. В сумме необходимо найти N + N2 величин.
Далее, перейдем от системы координат (Е, ст) к системе координат (Е, V). В наших осях парабола, характеризующая кривую безразличия инвестора, будет выглядеть прямой.
Рис. 11.12. Прямые рисковых предпочтений
Запишем уравнение для семейства прямых безразличия в виде:
V= a + XE.
Здесь X — наклон прямых, а — параметр. Стремясь достичь максимальной полезности, инвестор окажется на прямой с минимально возможным значением а. Следовательно, перед инвестором стоит задача найти такие X1, при которых минимально
-*.?, +К,,
где
/ = і N N
K = ZWjCjJ,
/=1./=1
390
Часть IV. ИНВЕСТИЦИОННЫЙ ПОРТФЕЛЬ
N
при условии X-1^i = 1 А™ всех X > 0. Надо сказать, что X1 могут
принимать любые значения в интервале (—оо, +оо). Отрицательная величина X1 означает, что ценные бумаги с соответствующими характеристиками нужно не покупать, а продавать. Будем искать решение для X1 в виде Xt; = K1 + Тогда, решив задачу однажды, можно, меняя рисковые предпочтения, подбирать нужный портфель (рис. 11.13). Например, инвестор хочет создать портфель из трех бумаг. В результате решения он получит такую, например, картину:
XA
Рис. 11.13. Пример портфеля
Выбрав цену риска, соответствующую А*, инвестор получит эффективный портфель, отвечающий его готовности рисковать ради получения дохода. Тогда
Ep = YC1E1 = J]K1E1 + XY к,Е„
I = I 1*т i = i
/V /V /V /V /V /V
V .Were ,VVrrr -^WO^c + * К г ) +
; = і у=і і=і у=і і=і y=i
/=1 y=l
Задача, подобная описанной, решается методом Лагранжа. Полагая, что читатель с этим методом знаком, приведем получающуюся в результате его применения систему линейных уравнений:
[2CnXx+.. .+2C1nXn -Xf = XE1, і = 1, /V, \ЪХ, = 1.
Глава 11. Управление портфелем ценных бумаг_391
Эту систему необходимо решить дважды. Сначала принять X = O, тогда получится K1, будет описан портфель с минимальной вариацией, а затем решить эту же систему, задав, например, X=I. Тогда получим kh и задача решена для любых X.
Рассмотрим пример. Пусть инвестор хочет создать портфель из трех акций, имеющих следующие характеристики:
— ожидаемые доходности — 20%, 30% и 40%;
— стандартные отклонения — 20%, 40% и 50% соответственно;
— коэффициенты корреляции —
Pi2 = 0,5; P13 = 0,1; P23 = -0,1. Получим систему уравнений:
Приняв X = 0 и решив систему уравнений, получим K1. Положив X = 1 и решив эту же систему уравнений второй раз, вычислим к-г В результате получим:
*, = 0,857 - 1,250Х, A3 = 0,114 + 1,253?..
Графически решение дано на рисунке 11.14.
Рис. 11.14. Решение основной задачи
Пусть на рынке есть безрисковые бумаги с Ex — 10% и, конечно, о, = 0. Тогда, если составить портфель из безрисковой ценной бумаги и первых двух из предыдущего портфеля, получим систему уравнений:
800*, + 800А"2 + 200*3 - V = 20Х, 800*, + 3200*2 - 400*з - *¦/ = 30Х, ' 200*, - 400*2 + 500*з - X7 = 40Х, *, + X2 + *з = 1.
0,114-
0,029 0
0,857
0,5 -
392
Часть IV. ИНВЕСТИЦИОННЫЙ ПОРТФЕЛЬ
- X1 = \ох,
ЖХг + 800,Y3 -Xf= 20Х, ' SOOX2 + 3200*3 - Xf = 30Х,
X1 + х2 + х3 = \.
Повторив уже описанную процедуру, получим следующее решение:
Xx = 1 - 0,0125Х, X2 = 0.0083Х, X3 = 0,00417Л.
Обратите внимание на то, что для рискованных ценных бумаг К=0. Это общее свойство решения системы уравнений при наличии в портфеле безрисковой ценной бумаги.
11.3. УГЛОВОЙ ПОРТФЕЛЬ
На практике обычно на величины X-, накладывают ограничения. Самое распространенное из них X1 > 0. То есть предполагается, что инвестор не собирается делать эмиссию или брать в долг. Кроме того, .возникают ограничения типа: доля любой ценной бумаги в портфеле не должна превышать определенной величины. Система уравнений сохраняет свой вид, но метод решения принципиально меняется.
Обозначим минимальные границы долей L1 и максимальные U1. Тогда в общем случае L1 <Х/< U1. Если для /-той бумаги выполняется условие L1 < X1 < Uh она имеет внутренний статус. Если X1 = U1, — верхний статус, если X1 = L1 — нижний статус. Далее нужно определить, каков будет статус ценных бумаг при X -> со . Для этого сначала всем ценным бумагам, входящим в портфель, присваивают нижний статус, кроме одной ценной бумаги, у которой макси-
