Общая химия. Избранные главы - Вольхин В.В.
ISBN 5-88151-282-0
Скачать (прямая ссылка):
Более строгий подход к оценке значимости произведения или частного основан на сравнении относительных недостоверностей сомножителей и произведения (или частного). Его обсуждение проводится в специальной литературе.
4. При возведении в квадрат или куб результат включает столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближенное число. При извлечении квадратного или кубического корня в результат следует включить столько значащих цифр, сколько их имеет цифра под корнем.
Примеры: (25,44 см)2 = 647, 2 см2,
У59,3 см* - 3,90 .
Отметим, что приведенное правило является приближенным и его использование допустимо при возведении в небольшую степень и при извлечении квадратного или кубического корня.
5. При логарифмировании количество значащих цифр в мантиссе равно количеству цифр, которое содержал нестепенной член числа.
Примеры:
log 0,1 =-1; log0,M0-2=-3; log 0,10•1O-5 = -5,0.
6. В промежуточных результатах вычислений принято оставлять на одну цифру больше, чем рекомендуют правила. В конечном результате эта цифра отбрасывается с учетом правил округления.
Приложение 2
Некоторые математические выражения, применяемые при расчетах в области химии
Действия с логарифмами. Вспомним, что логарифмом числа N по основанию а (ограничимся основаниями а, равными 10 или е = 2,718...) называется показатель степени х, в которую нужно возвести а, чтобы получить число N. Логарифмы берутся только от безразмерных величин (чисел). Если логарифм берется от физической величины, то единицы опускаются и для вычислений оставляется только число.
Примеры. logiolOO = 2. Действительно, TV= 100 = 102, поэтому х = 2.
Обозначения десятичных и натуральных логарифмов примем в соответствии
с международными правилами: logi0N = x или log N = X, что равнозначно 10* = N; loge N = Z или In N = z, что равнозначно ez = N.
Рассмотрим более подробно десятичные и натуральные логарифмы.
Логарифмы чисел, больших единицы, положительны, меньших единицы - отрицательны. Логарифм единицы при основании а = 10 или а = е равен нулю. Логарифм числа, равного основанию, есть 1.
Примеры: log 10= 1; log 0,5=-0,30103; log 10"5=-5; log 1 =0;
log 0,005 = log 5 + loglO-3 = 0,69897 - 3,00000 = -2,30103;
In е- 1; In 2 = 0,69315;
log e = 0,43429.
324
B.B. Вольхин. Общая химия
Часто используются зависимости:
log х = 0,4343 In х и In х = 2,303 log х.
Если известен log х = в, то число х можно вычислить по правилу х = 10е Примеры:
log х = 7,860, х = 107,860 = 100,860-107 = 7,24-107;
log х = - 4,750 = 0,250 - 5,000, х = 100,250-10~5 = 1,78-10"5.
Логарифмическое уравнение эквивалентно показательному уравнению In x = z, X = е .
Пример:х = е30'4, logх= -^- = 13,2, х= 1,6-Ю13.
2,303
Некоторые свойства логарифмов: если а, в > 0, то
log ав = log а + log в; log — = log а - log в;
в
log а" = п log a; log аи" = — log а.
п
Некоторые свойства показательных функций при а > 0 и а Ф\:
.V V IX + V) (.V - V) -.V I
а-а =<г •'; —- = d , а =—:
а- а
аих = $]а ; (aef
X X
?а 'в .
Решение квадратных уравнений. Химические зависимости нередко выражаются в форме квадратных уравнений типа ах2 + вх +с = 0, а * 0. Решение уравнения
-в±Уб
4 ас
2а
При (в2 - 4ас) > 0 корни действительны, при (в2 - 4ас) = 0 корни действительны и равны между собой, а при (в2 - 4ас) < 0 корни комплексные.
Производные и дифференциалы. Физический смысл производной - скорость изменения (функции). Понятие производной удобно обсуждать на примере скорости химических реакций. Если известно, например, изменение концентрации продукта реакции Ac за промежуток времени А/, то средняя скорость реакции за данный промежуток времени составит Ac/At. Однако величина средней скорости химической реакции не выражает ее истинную скорость в любой момент времени.
Последняя определяется пределом, к которому стремится отношение Ac/At при Д/-4- 0:
.. Ac и - lim —.
л, ~> о Д/
Таким образом, скорость реакции или скорость изменения концентрации с вещества в момент времени / есть предел средней скорости для промежутка времени от / до t + At, когда At -> —> 0.
Величина и = hm—носит название производной функции по аргументу /. В общем случае
Al -> 0 Д/
производной функции у -f(x) по аргументу х называется предел отношения приращения функции Ay к приращению аргумента Ах, когда Ax —> 0.
С геометрической точки зрения производная функции с =./(/) в точке / (пусть 1\) характеризует наклон, который имеет касательная к кривой с = /(/) в точке t\ по отношению к оси абсцисс (ее положительному направлению ot).
Операция отыскания производной некоторой функции называется дифференцированием этой функции.
Приложения
325
Дифференциалом функции называется приращение функции, в машем случае de, которое получила бы функция, если бы зависимость выражалась не кривой, а касательной к ней в начальной точке интервала от ( до / + dt. Для независимого переменного dt = At, где Л/ - приращение независимого переменного (аргумента). Дифференциал функции с =/(/)
