Промышленная очистка газов - Страус В.
Скачать (прямая ссылка):
(I -f 2е2 - е*) R'' + (I + е2 — eJ) R' — B2R (1 — 5)* = О {VI. 32)
(1 + є2 — e4){flS'— 2R'(l— S)}+Stf = O (VI.33)
где первое уравнение дифференцировано- по Т, причем пределами являются
R = R1ZR = O Rt^s = O при T = O (VI.34)
Из (VI.30, а) видно, что R, R' и R" не превышают 0(1), и из уравнения (VI.31) следует, что S и S" равны 0(є2).Отсюда внут-j реннее разложение принимает вид
R = a(R0+s^Rl+eiR2+ ...) (VI.35а)
S = (E2S1 + E4S2 + ...) (VI. 356)
причем Ri и Si зависят только от Т.
Далее, из граничных условий (VI.34) следует, что
R„ = l, R^=Rl=R2= ... =S1=S2^ ¦¦¦ =- 0 при T = 0 (VI.36)
Вводя значения из уравнений (VI.35, а и б) в уравнения (VI.32)
и (VI.33) и приравнивания коэффициенты каждой степени в е! к нулю, можно найти:
Я" + Я' = 0; R»1 + R’1 + 2R"-Ri-R0=O;
(VI. 32»)
R" + R2 + 2К1 + Rl-R1-RZ-Ri + 2 R0S1 = 0 -2/? = 0; R0 (Si + S1) — 2? (I — S1) — 2R{ — 0 (VI.33*)
2RiS2 + R0 (SJ + S2) + S[ (R0 + R1) + S1 (2Rt0 + 2R[ + Si) - 2Rb - 2R1 + 2Ri = 0
248
Решение этих уравнений с учетом (VI.36) тривиально и приводит к уравнениям
Я = а{1 -ре2(Г — I — е~т) -(-е4 [(1I2T2 — IT + 15 — 27-2 871 + 15)е—г]}
(VI.37а)
S = 2є2 (1 - ё~т — Тё~т) + в* [(—14 + iI3T3 + 6T2 + 16Г + 8) е~т +
+ (44 + 6) ё~т] + ... (VI.376)
Первые два члена во внутреннем разложении для R те же, что и выражения, полученные непосредственно из уравнения (VI.30, б) путем замены Т=Ю( 1 + є2 + є4) и разложения медленно изменяющейся экспоненты на степенные ряды по Г и є2. Из уравнений (VI.37, а и б) видно также, что частицы покидают пограничный слой с примерно постоянной угловой скоростью (0 (1—2{02/К2) и радиальной скоростью и>2/К-
Внешнее разложение. Если T = Kt становится сравнимым с E2=(J)2IK2, ряд внутреннего разложения больше не сходится. Одновременно с этим становятся значительными те элементы решения, которые соответствуют членами е^(«2—«4)в уравнении (VI.30, б), они больше не представляются степенными рядами Т. Для исследования непрерывности решения в этот период времени принимают второе соответствующее время
T = к (Є2 — є*) t = (а/К* — (SiiZK3) t
Как и раньше, 0 = cd(1—S) подставляют в уравнения (VI.26,a и б) и получают следующие выражения
е* (1 — 2е2) R" + (I — E2) R' — R (I — S)2 = 0 (VI .38а)
є2 (1 — е2) [S'# — 2R' (I — S)] + RS = 0 (VI .39а)
Теперь первое уравнение обозначает дифференцирование по т. Внешнее разложение тогда записывается в виде
R = a( p0+82pi+e4p2+•¦¦) (VI. 40а)
S = E2C1 + є«о2 + ... (VI.406)
где Pi и Oi зависят только от т.
В соответствии с принципом параллельных асимптотических разложений произвольные константы, появляющиеся в уравнениях (VI.40,a и б), можно оценить исходя из предположения о равенстве разложений при предельных значениях К—>-о°, что приводит к двойственному пределу T—>-оо и т=0. Подставив уравнения (VI.40, а и б) в уравнения (VI.38, а и б) и прировняв показатели степеней при E2, получают следующий ряд дифференциальных Уравнений:
Pi-P0 = O; РЇ — Pi + Po — Р? + Sp0O1 = 0;
Р2 — P2 — 2Po + Pi — P2 + Sp2Oi — Po (о® — 2с2) = 0 (VI. 386)
р0о' — 2р0 = 0; P0O2 + P0O1' + O1 (pi + 2р') — 2pJ + 2pJ = О (VI. 396)
249
Решением первого равенства в уравнении (VI.38, б) является р0=Д0ет (где А— постоянная), поскольку т=е2(1—2е2)Т; ро= =А0 + 0(е2), когда T велико и т мало. Для обеспечения соответствия при 0(1) между (VI.37, а) и (VI.40, а) необходимо, чтобы A= 1, и таким образом ро=ет, что точно соответствует первому члену уравнения (VI.30).
Подобным образом из первого равенства в (VI.39, б) следует, что (Ti=2, что соответствует предельному значению T—*-оо в уравнении (VI.37) и 0(е2).
Решением второго равенства из (VI.38, б) является выражение pi=—^tH-A1) ет (где Ai—!постоянная). Подставляя т=е2(1— —2е2) T в (VI.40, а) получим
R = о{ ех — E2 (A1 + 4т) ет + 0(Е4)} =а{1 + (Г — A1) + 0 (є*)}
при представлении ех в виде ряда 1 + є27'+0(є4). Тогда соответствие с уравнением (VI.37, а) расширяется до 0(е2), если A=I, поэтому pi=— (4т+1)ет. Это дает значение 02=—14, что опять совпадает с пределом T—»-оо в (VI.37, б) до 0(е2). Наконец, решением последнего равенства в (VI.38, б) является р2=(4т2+46т+ +A2)ех (где A2 — постоянная). Подставляя т=«2(1—2е2)Т в уравнения (VI.40, а), получаем
R = Oe1 {1 -є2 (4т + 1) + е4 (4т2 + 42т + Ла) +...} =
= а {I + е2 (71 — I) + е4 (1Z2T2 — 7Т-\- As) + ...}
Сравнивая полученное решение с уравнением (VI.37, а), находим A2=15. Отсюда окончательным решением для R во внешней области является выражение
R — аех {1 — E2 (4т +1) + е4 (4т + 42т +15)+0 (e')) (VI .40)
где в=(о/1С и т=«2К(1—Bi)t.
Время удаления частицы. Временем удаления хе для любой частицы является значение т из уравнения (VI.40), при котором R-1 (для Ci=RifR2). Это дает
\/а-е~х = 1 — е2(4<+ 1) + е4(4т2 + 24т+ 15) (VI.41)
Если є мало, то Te=To = In R?/Ri. С той же степенью точности строгое решение может быть записано в виде
Te = T0 + E2T1 + E4T8 где Ti и T2 являются 0(1), сравнимым с е.
Подстанов'ка дает следующее выражение
