Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
282
Глава 10
55
54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42
0.с7сл -
0,0768-
0,0832 —
I
0,0912' у '
0,0960
Детерминистическое стационарное —-настояние
Sa
44 45 46 4? 48
49 50
Pi
51
52 53 54 55
Рис, ЮЛ. Траектории средних значений случайных переменных X и У в мо^ дели Лотка — Вольтерра,
Сначала система распределена вблизи детерминистического стационарного значения ira закону Г/уэссоцг, Стрелками показаны разные точки фааоаой траектории, саотьет-стаую[Дие указанием значениям времени.
вывод подтверждается также численным анализом полного фундаментального уравнения (10.65) |219, 241). Численными ча-то-дами было показано (см. рнс. 10.1). что траектории систематически отклоняются от стационарного решения и после нескольких спиральных витков либо стремятся к затухающему режиму, либо переходят в состояние У = 0 (см., однако, [389]), Аналитически также можно показать [334], что фундаментальное уравнение не имеет стационарного решения, соответствующего нетривиальным значениям X и Y.
Такое «хаотическое» поведение сильно напомякаег азвесиюе явление турбулентности в гидродинамике, где флуктуации также играют раиаюшую роль, иэчестэсяуо изменяя результаты макроскопического анализа. Этот случай мы будем называть обобщенной сурбцлентностыо .
Описание флуктуации в терминах процессов рождения — гибели
283
Возможность спонтанных отклонений от режима пуассонов-ашх флуктуации служит яркой иллюстрацией обсуждавшегося в разд. 9.2 нарушения закона больших чисел. Хотя мы еще вернемся к этому вопросу в гл. 11 и 12, уже сейчас можно отметить, что эта совершенно новая ситуация является следствием сопряжения, обусловленного химическими реакциями, в результате которых изменения случайных переменных перестают быть независимыми событиями даже в лредатьиом случае больших систем при IV-»- оо.
Полученные здесь результаты можно сравнить с проведенным в разд. 10.4 анализом уравнений моментов, В самом деле, структура системы уравнений (10.72) для Ьц тождественна структуре общей системы (?0.37) для дисперсий. С другой стороны, фигурирующая в уравнении (10.72) матрица К фактически тождественна матрице коэффициентов линеаризованной системы макроскопических уравнений [см., например, уравнения (6.6)]. Обозначим через ?.д и Нд собственные значения и (орто-нормнрованпые) собственные векторы матрицы К соответственно;
м-
где индексом / н определении скалярного произведения обозначена частица /-го сорта. Разложим 6Х и <6Х 6Х> в уравнении (10.37) но векторам Иц, Тогда
ЗХ = Е%и№
н
[IV
Индексы и., V не следует смешивать с индексами [", ), использовавшимися в разд. Ю.4 для обозначения сорта частицы. Выполняя матричное умножение К-<бХбХ> и используя ортогональность векторов ид, для стационарного состояния можно получить уравнение (10.37) в виде
(<Ч Ц1,} + (Зусг^ + Ч"ц1>)= °-
Решая его относительно Од?, находим
("г, цу)
284
Глава 10
Как неоднократно отмечалось в гл. 6 и 7, в состоянии с нейтральной устойчивостью матрица К имеет либо одно нулевое собственное значение, либо пару чисто мнимых собственных значений. Пусть собственные значения действительны и Хц. — критическое собственное значение, исчезающее в точке нейтральной устойчивости. Из (10.78) следует, что матрица дисперсий содержит по крайней мере одно расходящееся слагаемое — член в сумме, соответствующий ц=у. Это связано с тем, что уравнения для дисперсий не имеют физически разумного стационарного решения [249], Аналогичный анализ можно провести и для случая комплексных собственных значений.
Если в качестве стандартного рассматривается равновесное или близкое к равновесному стационарное состояние, то при правильном выборе переменных матрица К симметрична и любое макроскопическое возмущение оказывается монотонно затухающим. Однако в общем случае отклонения от равновесия гарантировать симметрию К невозможно. При этом возвращение в стандартное состояние из возмущенного может иметь колебательный характер или отсутствовать вовсе. Отсюда следует, что поведение матрицы дисперсий становится аномальным.
В действительности, если только макроскопические кинетические уравнения допускают колебательное решение, флуктуации имеют «Вращательный» характер, что непосредственно следует из анализа уравнения для дисперсий. В работе 1382] (см, также [383]) было предложено характеризовать вращение флуктуации величиной типа момента количества движения:
М1, = {6Х16Х,) - {6Х16Х,), (10.79)
где средние значения вычисляются в стандартном состоянии, а бХ формально определяется правой частью соогветствуюшего макроскопического кинетического уравнения, разложенного вблизи стандартного состояния, В той же работе показано, что матрица М связана с матрицей дисперсий соотношением
М=<К-о)г-(К-о). (10.80)
Физический смысл (10.80) легче выяснять при переходе к новому набору переменных, отражающему «радиальную» и «угловую» части флуктуации [201],
10.7. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Как отмечалось в разд. 10.6, по своему поведению система в окрестности неустойчивости, приводящей к возникновению дис-сипативной структуры, во многом аналогична модели Лотка — Вольтеррз. Во-первых, возникает возможность решений линеЗ'
