Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Численные расчеты также подтверждают множественность диссинативных структур в надкритической области В > Вс. Например, в отсутствие потоков на границах в дополнение к проанализированному в разд. 7.12 однородному решению типа предельного цикла можно обнаружить решения с нетривиальной пространственной зависимостью, существующей в течение 40 периодов без проявления какой-либо тенденции вернуться в однородное состояние. В этих решениях опять имеется фронт, распространяющийся в определенном направлении (например, едена направо). При выполнении определенных условий наблюдаются также последовательности волн.
Простые автокаталитические модели
В заключение еше раз подчеркнем некоторые замечательные свойства периодических во времени решений в химической кинетике. Так, способность образовывать значительные количества химических соединений в ограниченной области пространства в течение определенных промежутков времени наделяет химические осцилляторы мощными регуляторными свойствами. Кроме того, высокая скорость распространения волновых фронтов, которая на несколько порядков может превышать скорость распространения концентрационного фронта за счет диффузии, представляет мощное средство передани информации на макроскопические расстояния в течение макроскопических промежутков времени. Биологические применения результатов такого типа анализируются в гл. 14.
Критический размер диффузиоввой области
В разд. 7.8 мы подчеркивали важную роль размера системы при наличии бифуркаций термодинамической ветви. Если в системе возможны периодические во времени решения, то отдельные локальные осцилляторы связаны через константу сопряжения, обратно пропорциональную квадрату параметра характеризующего размер системы. В результате такого сопряжения могут возникать и существовать неопределенно долго когерентные пространственно-временные структуры.
Примечательно, что это возможно лишь в том случае, когда размер системы / превышает некоторое критическое значение. Последнее можно определить как такое значение, вплоть до которого существует единственное не зависящее от времени решение, полностью определяемое диффузией. Это решение характеризует сопряжение между химической реакцией и диффузией. В некотором смысле сопряжение между локальными осцилляторами в таком режиме настолько велико, что возможность колебательного поведения полностью исключается. Однако если размер системы превышает Критическое значение, то сопряжение между осцилляторами ослабевает и на пространственную структуру накладывается периодическая во времени активность входящих в систему компонентов [133]. Назареа [265] удалось теоретически оценить Критический размер /*, выразив его через зависящий от параметров период колебаний и коэффициенты диффузии. Полученная формула имеет вид
где 7—-период колебаний и 5* — максимальная сумма элементов столбцов обратной матрицы коэффициентов диффузии.
164
Глава 7
Кроме того, Назареа |268] приводит гидродинамические оценки Л для случая реакций в растворах, содержащих (томимо забуферепных и пезабуферснных реагентов произвольное число инертных компонентов. Эти оценки можно использовать при рассмотрении сложных химических систем, представляющих интерес с точки зрения биологии.
Структура выражения для Г интуитивно довольно ясна. Переписанное эквивалентным образом
оно выражает равенство между периодом химических колебаний и характерным временем диффузии. В самом деле, когда эти два временных масштаба сравниваются, можно ожидать возникновения новых эффектов, обусловленных конкуренцией между химическими реакциями и диффузией.
7.14. РАСПРОСТРАНЯЮЩИЕСЯ ВОЛНЫ
В СЛУЧАЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Изученные в предыдущих разделах колебательные решения получены при наличии граничных условий Дирихле или Неймана. Роль этих условий сводится к запрету на возникновение истинных волновых фронтов, распространяющихся с постоянной скоростью Существует, однако, иной тип граничных усло-
вий, представляющий значительный интерес и возникающий при решении уравнений для среды, которую можно представить в виде замкнутой кривой в двумерном пространстве или замкнутой поверхности в трехмерном пространстве. Простейшими примерами такого рада служат кольцо, круг или сферическая поверхность. Значение систем с такой геометрией в биологических процессах очевидно. Так, во многих процессах, связанных с метаболизмом, движением или эмбриональным развитием, клеточная мембрана играет решающую роль в смысле влияния на поведение системы в целом.
В настоящем разделе мы изучим случай кольца с периметром 2л в двух измерениях. Случай круга кратко обсуждается в гл. 8.
Для тримолекулярной модели термодинамическая ветвь по-прежнему определяется уравнением (7.16). Однако граничные условия теперь вытекают из требования периодичности:
У (0, 0=П2л, 0, 1 где 6 —координата вдоль кольца.
Хф, 0 = Х(2я, <),
ТЯГ <2я' 0.
(7.104)
Простые автокаталитические модели
165
Покажем, что в результате бифуркации термодинамической ветви может возникнуть новый тип решения — решение типа распространяющейся волны. Для этого положим
