Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
= % (24")
Как показывают формулы (24') и (24"), скорости по сечению эллиптической трубы распределяются по закону эллиптического параболоида, а по сечению круглой трубы — по параболоиду вращения. Последнее распределение иногда называют „параболой Пуазейля" по фамилии французского ученого, известного своими исследованиями движения жидкости сквозь капиллярные трубки (1840 г.).
Из распределения скоростей (24') определим максимальную по сечению скорость на оси эллиптической трубы:
А р аЩ*
(25)
max 2\>l
после чего распределение скоросіей (24') перепишется в виде:
® — ®таж (1 ~ ^ —§г) • V25')
Аналогично для круглой грубы
_ a2 Ap
т .X 4J1/ '
причем
126)
1
¦01-
Определим теперь обьемный расход сквозь сечения рассматриваемых труб и связь между расходом и перепадом давления на единицу длины трубы. Совсем просто вычисляется расход сквозь сечение круглой трубы.
Для этого достаточно проинтегрировать элементарные расходы по кольцевым участкам, написав
& а
Q = J w.2w*dr = f (fis — г ')2 г dr,
P О § 79} ламинарное движение ho грубе 491
и получить
C=^i- CT
Эго приводит к известному закону Пуазейля: при ламинарном движении вязкой несжимаемой жидкости сквозь круглую цилиндрическую трубу секундный объемный расход пропорционален перепаду давления на единицу длины фубы и четвертой степени ее радиуса и обратно пропорционален коэффициенту вязкости.
Зная расход Q и площадь сечения трубы а = то8, найдем среднюю скорость:
И, = Q- rzaihP -efl^P ¦ (2ТЛ
Wov- о - 8|А/. тач - S[U , И' )
сравнив с (26), получим важное соотношение между средней но сече-- нию и максимальной на оси скоростями:
W0,,= JWm^- (27")
Определение расхода сквозь эллиптическую трубу сведем к определению расхода сквозь круглую трубу, если в интегральном выражении расхода
Q= J j Wdxdy = Wm^ j j (l — 5— Pjdxdy
положим:
X = ах', у = by', г' = Vxa +/
тогда интеграл по площади эллипса сведется к интегралу по площади а' единичного круга и легко вычислится:
Q = ^lll8jt • ab J J (1 - У2 —/") dx' dy' =
' о'*
I
= WmixUb ( (1— г'3) 2-xr'dr' = ^abwl
max
Будем иметь по (25): Средняя скорость wcp, согласно (28), окажется равной:
,, 1' . TM-''Ь^ р /ооч
Q = т ^abwmax = 4ij/(a2+fta) • (28)
(280
Таким образом, как в случае круглой, так и r случае эллиптической трубы средняя скорость равна половине максимальной. 492
динамика вязкой жидкости и газа
[гл. vill
Из выведенных формул заключаем, что по заданным геометрическим параметрам грубы, коэффициенту вязкости и одной из характерных для потока в трубе величин расхода, средней или максимальной скорости, можем определить потребный для создания движения перепад давления Ap на некотором участке длины /. Этот перепад давления Др уравновешивает сопротивление движению жидкое і и, создаваемое силами вязкости на стенках грубы, благодаря чему и получается равномерное и прямолинейное движение жидких частиц. Величину перепада давления Др можно рассматривать как количественное выражение сопротивления участка трубы длины /.
Общеприняты следующие два выражения величины сопротивления круглой трубы через скоростной напор, составленный по средней или максимальной скорости:
л і 1 pw^
I р wi
а
(29)
где d = 2а — диаметр трубы, а X и &—-так называемые „коэффициенты сопротивления". Чтобы определить коэффициенты сопротивления X или і в рассматриваемом конкретном случае ламинарного движения в круглой трубе, заменим в (29) Др его выражениями чере* среднюю или максимальную скорости но (27') или (27"). После простых сокращений будем иметь
?> =
pwp]d ' и. 4V-
P®max«
Введем в рассмотрение следующие два „числа Рейнольдса": п pwOfd — tV*
Kcp- — —,
P = == Wmzxa
max [А V '
Тогда окончательно получим формулы сопротивления:
1 64 > 4
Х = ТС- ^ = R- (30)
cP max
Из этих формул следует, что коэффициенты сопротивлений X или представляющие по (29) не что иное, как особым образом составленные безразмерные сопротивления или перепады давлений в трубе, являются функциями соответствующего числа Рейнольдса R. Если два ламинарных течения в цилиндрических круглых трубах § 79} ламинарное движение ho грубе
493
подобны между собою, то соответствующие им числа R равны друг другу. Если же эти числа не равны, а следовательно, движения не подобны, то, в полном соответствии с тем, что было сказано в конце предыдущего параграфа, коэффициенты сопротивлений представятся некоторой функцией (30) числа R, по которой может быть вычислено сопротивление при любом ламинарном движении.
Зная диаметр трубы и среднюю или максимальную скорость, по формулам (29) и (30) можем определить сопротивление Др движению жидкости с заданными коэффициентами вязкости р. и плотности р на любом участке длины L Наиболее употребительны первые формулы равенств (29) и (30), заключающие коэффициент А и среднюю скорость ®>ср.
Введем теперь в рассмотрение напряжение трения на стенке круглой грубы, равное по закону Ньютона
<31>
