Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
в особых точках. В точках A1 и A2, как видно из рис. 94, конформность не нарушается.
Основная идея построения теоретических профилей Жуковского— Чаплыгина заключается в следующем. Возьмем в плоскости С круг К*, Центр которого несколько смещен влево так, чтобы круг К* соприкасался с кругами С и C1 в точках на оси OS. В силу непрерывности преобразования легко сообразить, что кругу К* в плоскости С, расположенному в кольце между кругами С и C1, будет соответствовать некоторый замкнутый контур К в плоскости z, расположенный в области между эллипсом C1 и отрезком FF'. При этом в точке F Контур К 6} дет иметь острую кромку с нулевым внутренним углом и внешним углом, равным 2тг. Симметричный контур К с задней острой кромкой, известный под названием „руля Жуковского", имеет обтекаемую форму и представляет первый пример крыловых профилей 296
плоское безвихревое движение жидкости
Жуковского—Чаплыгина. Проводя другие окружности со смещенными относительно начала координат ^O* [центрами, причем такие, чтобы
всегда но крайней мере одна их точка совпадала с особой точкой F*, получим всевозможные профили Жуковского—Чаплыгина. Вместо (98) и (99) иногда рассматривают преобразования:
г=Є + 4> (98'>
г —2с (I — /оо'-) ? 46] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 297
отличающиеся от предыдущих масштабным коэффициентом */2; так, преобразования (98') и (99') переводят основной круг С* в отрезок на оси Ох, в два раза больший чем диаметр круга.
Не вдаваясь в детали геометрического построения профилей Жуковского—Чаплыгина,1 приводим на рис. 95 различные типы профилей. Если центр круга К* находится в точке N1 оси 0$, то в плоскости г получим „руль Жуковского" Ki (показанный на рисунке пунктиром). Круг С* переходит в отрезок FF' (круг С* и отрезок FF' показаны пунктиром), служащий „скелетом" руля Жуковского в том смысле, что при уменьшении относительной толщины руля контур его Ki будет стягиваться к отрезку FF'.
Поместив центр круга Ко в точку N0 на оси Оті, получим в плоскости г круговую дужку K0, опирающуюся в концы отрезка FF'.
В самом деле, соединяя точку M окружности Ко отрезком 0*М = г с началом координат О* и обозначая полярный угол через v, будем иметь:
Г — re*»
и, согласно (98),
Сравнивая в этом равенстве действительные и мнимые части, получим:
* = Y(г + Т")cosv' ^ = ^-)sinv.
Исключая из этих двух равенств г, найдем, что
jc2 sin2 V-J2 cos2 V = C3 sin2 V cos2 V. (*)
С другой стороны, соединив точку M с центром /V0 круга К*0 радиусом а0, получим
ЩМ2 = ОШ 3 + d*N о — 20*М • O*N0 sin v, или, как видно из чертежа ф — угол между линией центров N0, N смещенных окружностей и осью 0*5),
Т^й = r2 + catg2{3 — 2<r tg P sin V,
огкуда следует
-EL. = JtП?І = 2с ¦ tg 8 sin v, sin V г & г
sin2v = —4—s, Cos2V = 1 —--
C- tgp •
1 См. Кибель, Кочин и Розе, Курс теоретической гидромеханики, 1, 1948, стр. 278—288; „Аэродинамика", под ред. Дюрэнда, т. II. Обо-Ронгиз, 1939, стр. 92. 298 плоское безвихревое движениг жидкости і пі. V
Подставляя эти величины в равенство (*), после простых приведе-ний получим уравнение круга;
X2 + Су + С • ctg 2р)2 = с2 • CSC8 2(3,
с центром в точке (0, —с ctg 2(3) и радиусом с csc 2(3, что и доказывает ранее сделанное утверждение. Полагая в уравнении круга X = О, найдем стрелку прогиба 8 дужки (рис. 95, снизу):
8 = с • tgj3.
Отношение стрелки прогиба 8 к хорде FF' = 2с определяет вогнутость дужки
/-ST-Tttfc
или, при малых {3,
/=4 Р.
Наконец, круг К* с центром в любой точке N плоскости С, проходящий через особую точку F*, переходит в изогнутый профиль Жуковского-—Чаплыгина К. Дужка K0 служит скелетом для профиля К, так же как отрезок FF' — для руля K1. Вогнутость дужки K0 представляет вместе с тем и вогнутость профиля К. Если, сохраняя вогнутость профиля К, уменьшать его толщину, то профиль будет стягиваться к своему „скелету"—дужке Kq.
Рассмотрим теперь задачу об обтекании профиля К потоком со скоростью Vco, направленной под углом O00 к оси Ох. Проведем во вспомогательной плоскости С оси AZr;' и Nr\' с началом в центре смещенного круга N. Плоскость комплексного переменного С = V -j- щ' повернута относительно плоскости С на угол —(3, так что, положив
С" = A',
приходим к соответствию между плоскостями С и С" с параллельными осями координат:
C = C-^-K".
Таким образом, получим:
'-і(<+т)-±(«—-'+«' + ІГїЗД-
1 „,, 1 . , 1 Cs 1 с2 (с — .
откуда, сравнивая с (94), найдем:
1 1 , ~#Ч 1 о
Wtco=Y' Щ — —ае )> mt=-jc2, OT2= — -і-с2 (с—ае~*?). ? 46] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 299
Согласно (80), будем иметь (s0«= — 0):
Г = — 1т.а I KcoIsin(PH-G00), а следовательно, подъемная сила будет равна:
I RI = PI ^od I • 1ГI = 2тгра I V001» sin (Р + Bco).
Направление бесциркуляционного обтекания найдем, положив 1^1 = 0; будем иметь (Bco)64 = — р.
Коэффициент подъемной силы можно получить, если задаться каким-нибудь характерным размером крыла, через который выразилась бы величина а. Так, если обозначить расстояние N0N через Д, то легко найти:
