Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
т. е. а(Р0) - 1 и а(Р,) = 2, получаем
°(Pn) = Fn + r (4)
Вычислительная стратегия расчета a(G) состоит в использовании
рекуррентной формулы (1) для удалений из графа G всех циклов и вершин
степени большей, чем два, и затем нахождения результата для полученного
множества путей и объединений путей с помощью (2) и (4).
Вторым комбинаторным аспектом для конечного тополбгиче-ского пространства
является перечисление открытых множеств, содержащих данное множество S, С
X в качестве подмножества; эта величина будет обозначаться как
n0(S). Пусть наименьшее открытое множество, содержащее S,
обозначено как § (называемое ко за-
мыканием множества S, так как является замыканием S в котопо-логии).
Тогда семейство открытых множеств, содержащих S, является ( S U Ai\Aj е
./\. Однако благодаря тождеству
(5 U А) - § = (X - S) П А это семейство множеств изоморфно [{X - §) П
At\At е J?), которое является просто топологией подпространства X - §.
Другими словами,
n0(S) = \S(X - 5)1 = a(G - 5).
Множество S легко строится из В частности,
§ = U Вр = S U A+(S),
peS
где A +(S) - множество вершин D, смежных из некоторого элемента множества
S *. Аналогично число замкнутых множеств, содержащих S, даётся
соотношением
nc(S) = a(G - S),
* А + (S) = U Uy. - Прим. перев.
v_c л
18
Р. Меррифилд, X. Симмонс
где S - замыкание S - выражается как
S = S U Л" (S)
[А ~ (S) - множество вершин диграфа D, смежных к некоторому элементу
множества S *].
Результаты этого раздела показывают, как комбинаторные свойства конечной
топологии могут быть выражены с помощью простых операций на ее графе и
диграфе; действительно, можно сказать, что теория графов является
естественным исчислением конечной топологии.
3. ТОПОЛОГИЯ АЛЬТЕРНАНТНЫХ МОЛЕКУЛ
Для альтернантных молекул (т. е. молекул, графы которых двудольны) связь
топологического пространства с молекулярной структурой совсем простая, а
именно это пара топология/котопо-логия, возникающая из двух возможных
транзитивных ориентаций молекулярного графа. Из предыдущего обсуждения
нам известно, что эти пространства являются связными ^-пространствами и
лишь гомеоморфные структуры - стереоизомеры.
3.1. сложность структуры **
Мощность графовой топологии отражает некоторые аспекты сложности
структуры. В качестве характерных примеров в табл. 1 и 2 приведен ряд
молекул. Анализ этих данных показывает, что отклик \jf\ на изменение
структуры может быть представлен таким образом:
циклическая - линейная - разветвленная увеличение \.У\
Эмпирически было также установлено [2], что \J^\ относительно хорошо
коррелирует с такими физическими свойствами, как теп-' лоты образования и
температуры кипения. Это не слишком удивительно, так как хорошо известно,
что указанные свойства в значительной степени коррелируют с
разветвленностью структуры.
* ^ (S) = ^х • - Прим. перев.
** См. также статью Бертца в настоящей книге. - Прим. перев.
ЛИЦА 1. Мощности топологий алканов от С5 до Cg
Молекула | J | Молекула | J |
Молекула_______________| J 1 Молекула__________I з
|
65
cs;/V/\ 13
14
А/
X
Ху
17
21
22
23
24 26
ХА
ББ
66
/Гу<^к ее /К/ЧА 69
70
77
80
ТАБЛИЦА 2 Мощности топологий альтернантных т-графов
п =. 6
| 17 18
G: Ш О
п = 8
|Л0>|: G: 41 I I I I 44 CD
G- 52 СГ^ 53 Ф
| 7(6) Г- 59 60
19
20
21
47
22
46
54
55
от
XX 61 62
56
К
'D1'
64
АА/
21 А^ 24 И
49 50
Л" ЪА
сг сГ^
57 56
А
?nX/ 65 66
А/^
Топология конечного точечного множества
21
3.2. СВЯЗНОСТЬ И ДЕЛОКАЛИЗАЦИЯ
Центральная идея в квантовой механике сопряженных х-электронных систем -
это делокализация, одно из следствий которой состоит в том, что
классическая структурная формула с чередующимися двойными и простыми
связями является только приближением нулевого порядка, тогда как величины
реальных порядков х-связей лежат в интервале 0 < р < 1. Топологически та
же самая идея выражается концепцией связности. Например, если мы
представим, что 2,3-взаимодействие в бутадиене
2 Л
"выключено", как следует из классической формулы, то полученная топология
х-орбиталей является несвязным пространством с графом
Г~1 Т~*
т. е. каждая из связей (1,2) и (3,4) есть компонента пространства.
Таким образом, изолированная х-связь является компонентой молекулярного
топологического пространства, т. е. она как открыта, так и замкнута. В
таком случае "топологический порядок связи" должен быть количественной
мерой той степени, в которой подмножество, состоящее из пары соседних
атомов, удовлетворяет этому критерию. Для этой цели "открытость" co(S) и
"замкнутость" со* (S) произвольного S с X определяются соотношениями
- 1 '(X - §)\ _ \_ЛХ - S)I_
I Х(X - S)l ' I /(.X - S)l
Поскольку S = §, если S - открытое множество, и S с § в противном случае,
ясно, что co(S) = 1, если S - открытое множество, и co(S) < 1 в противном
случае. Аналогичное справедливо и для со* (S) - меры замкнутости S. Таким
образом, величина
t(S) = | [w(S) + со* (S)]
равна единице, если S является компонентой X, и меньше единицы в
