Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
Tn+1 = (1 + p Re X1) г„ (1 + g3 (0) ,J) + С?' (гГ2, І ріг2)
Поэтому обрезанное уравнение имеет решение
/¦2=-pReA,/g3(0) (1.53)
Из условия (2) теоремы 10 следует, что Re Р.1 > 0, и, таким образом, знак величины sgng.i(O) в низшем порядке определяет направление бифуркации. В ходе доказательства теоремы показывается, что окружность, задаваемая выражением (1.53), служит первым приближением в сходящемся итерационном процессе, пределом которого оказывается инвариантная кривая полного уравнения [845].
Пример 7 [787, 28]. Рассмотрим систему на плоскости
¦F(xn,y„) (1-54)
Vyn+I/ V аг/,,(1 —Xn)J
гДе а> 1 її й<= [0, 1). Данное отображение имеет неподвиж-==(0 0) и [(Q- П. ПМ -Ь))/а. Яко-
ную точку (к, 1/) = (0,0) и [( бнан системы имеет вид
DF (х,,j) = [ Jay а{11х)]
і, таким образом, начало координат — это седло. Собственные числа якобиана в нетривиальной неподвижной точке равны
А = {[ + ь ± V(I -*)(! -Ь-4(а~ 1))}/2 Они комплексны, когда 4а > 5 — Ь, и в этом случае \Х? = Ь + (а-\)(\-Ь)
Этот модуль равен 1 при а = 2, и, поскольку d|Я|/da\„=2 = = (1 —Ь)/2>0, из теоремы Хопфа следует, что, когда а проходит через 2, от точки (а-, у) = {'/г, 0 — й)/2) ответвляется инвариантная окружность. Если начало комплексных координат помещено в указанную точку, уравнения приобретают вид
«„+, = >¦ (P) *п + «S + P I zn Г + Yzn (1.55)
где a ^ 1(2 +р) (X-Ь)/21т X, р = 2i(2 + р) (Re Я — й)/2Іт X, у = /(2 + р) (Я— 6)/2 ImЯ. При а = 2 собственные числа имеют вид e±i0, где cos в = (1+?)/2. Когда 0 = 2л(1/т) с m < 5, имеют место сильные резоиансы; однако легко доказать, что их не будет при b є [0, 1). Следовательно, при всех Ъ из указанного интервала можно исключить квадратичные члены из уравнений (1.55) с помощью замены переменных (1.47), где P220 = = а/(Я2-Я), Гаи = р7(ЯЯ— Я), Г202 = у/(X2 — X). В этих новых переменных уравнения (1.55) будут выглядеть следующим образом:
б„+. =?- (P) К + сшЧ + C321I2I,, + C312Ij2 + C303I= + 0(11„ |<)
(1.56)
где С3зо = 2OP220 + рі'гог. C321 = 2аГ2П + рГ21| + рГ220 + 2YP202 C312 = 2(Ip202 + PP220 + PP211 + 2уР2и, C303= рР202 + 2уР220
Можно сделать еще одну замену переменных и исключить |п, ^nIn и |,„ но для определения направления бифуркации в этом нет необходимости, поскольку относительно такой замены C32I инвариантно. Можно показать аналитически, что g3(0)=—2 при 4=0 и стремится к нулю, когда Ь стремится к единице. Численные расчеты показывают, что g3(0) монотонно возрастает, когда Ъ увеличивается от нуля до единицы. Отсюда следует, что при р > 0 существует инвариантная кривая и она является притягивающей при всех Ьє [0, 1) как и предполагали Лронсоп и др. [28].
Существование замкнутой инвариантной кривой Г для отображений не исключает существования на Г неподвижных точек в случаях слабого резонанса. Пусть Fp — отображение окружности, полученное сведением области определения G к кривой Г. Так как С —это отображение Пуанкаре для потока, F„
сохраняет ориентацию на Г и обладает теми же свойствами гладкости, что и порождающее векторное поле. Если кривую Г параметризовать (параметр обозначим 6), то число вращения отображения Fp дается следующим выражением:
К (8) - 8
. р (Fp) = Hm ' (1.57)
Таким образом, р является мерой асимптотического вращения на одну итерацию на кривой Г. Число вращения имеет следующие свойства [698]:
1) оно ие зависит от исходной точки 0;
2) р = IJm тогда и только тогда, когда Fn имеет периодическую точку периода т;
3) если р иррационально и Fn принадлежит классу С2, то F9 содержит орбиту, которая плотна в Г;
4) число р — это непрерывная, но недифферепцируемая функция отображения Fp.
Предположим теперь, что Im р = InIJmT при р = 0. Из (1.52) следует, что линеаризованное отображение Пуанкаре в точке р = 0 представляет собой вращение на 2п1/т, и поэтому P (^Yj) = l/т. Число вращения, вообще говоря, будет меняться с р, поскольку (0, 0)—это точка бифуркации. Однако мы можем сделать его константой, если будем рассматривать двухпа-раметрпческое семейство отображений. С этой целью запишем А в виде A = A0(I +A1) и будем рассматривать ReAi н ImAi как малые параметры. Тогда в низшем порядке по |Ai| инвариантная окружность (1.53) задается уравнением
т2=-Re (A1VRe (C1A0)
Здесь и далее все величины с,- вычисляются при р = 0. Если подставить это выражение в (1.51) и затем искать решения в виде 9/,+! = 0„ + 2л1/т, то получим
=0
Im A1 = ЛОЩ. Re X1 + (^h-^-'im (C1
Так как 0 встречается только в показателе экспоненты, это уравнение не имеет решений, если ReAi1 н ImAi не удовлетворяют соотношению
I Im А, - Л Re A11< I ВI Re A1 |('"/L>)"'
гДс А н В — константы. Приведенные соотношения определяют область в плоскости Re Ai, Im Аь в которой существуют решения для числа вращения l/т. Эти области называются «язы-Камн Арнольда» [24, 127]. Из каждой точки X = exp(2nli/m) Циничной окружности (рис. 1.8) выходит один из них.
Рис. 1.8. Резонансные зоны («языки Арнольда») па плоскости ReX-Im Я.
Однопараметрпческое семейство отображений общего вида, которое пересекает кривую С на рис. 1.8, будет проходить через бесконечное число таких резонансных зон и, следовательно, через бесконечную последовательность периодических решений с различными периодами. Границы резонансной зоны (/, т) соответствуют появлению /«-точечной периодической орбиты типа седло — узел, которая внутри зоны расщепляется на пару орбит; однако, как показали Аронсоп и сот]). [28], для отображения, данного в примере 7, в этих зонах имеется гораздо большее число структур. Авторамп работы [28] обнаружено, что при достаточно большом ]А], когда параметрическая точка входит внутрь резонансной зоны, решения, отвечающие различным числам вращения, могут сосуществовать. Как было указано еще в работе [594], это означает, что притягивающая инвариантная кривая уже не является окружностью в топологическом смысле и по современной терминологии может быть названа странным аттрактором. Авторы работы [28] обнаружили также, что устойчивое н неустойчивое многообразия седловой точки могут траисвер-салыю пересекаться в области пространства а — 6. По теореме Смсйла [698] это означает, что имеется инвариантное канторов-ское множество, па котором отображение сопряжено с трансляционным автоморфизмом. На данный момент цитированная статья дает наиболее детальную картину того, как бифуркационная инвариантная окружность теряет гладкость н вырождается в странный аттрактор. Детальное объяснение этого перехода займет слишком много места, поэтому мы отсылаем читателя к оригинальной работе.
