Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Применим (1) к реализации случайного процесса ?(s) (вместо x(s)); получим вместо y(t) случайный процесс i\(t), задаваемый формулой
m оо
^)- j K(t-s)l(s)ds= j K(t-s)X
— ОО —00
xfj eiXsZ(d\) lds= J Z(dX) j eiUK(t-s)ds =
L—00 J —00 —00
= j Z(d\) \ eiH,+u)K(u)du =
—eo —eo
= J «ш Ф(Х)2(Л). (3)
m
«о
где ф(Х)« j eauK(u)du есть преобразование Фурье функ-
— 00
ции K = jK(u). ^Сравните с п. 5.3: в случае, когда фильтр состоит в подстановке процесса %(t) в правую часть уравнения РФ) = l(t), функция ф(Х) = 1 /P(/X)j.
Из (3) следует, что
м 14(01* = ] W) I* F(dk) = j 1ф(Х)|* /(X) dX. (4>
—00 —О*
В радиотехнике известно великое разнообразие фильтров. В частности, можно подобрать фильтр так, чтобы функция |ф(Х)|* была похожа на б(Х — Х„). Тогда правая часть (4) даст примерно /(Х0), а левая часть может быть
. г
оценена как средняя мощность ||riTl2= —j h(OI2<ft процесса iff) (если процесс -ц(t) — ток или напряжение в неко-
тором месте радиотехнической схемы,, то MOI* есть, с точностью до множителя, мощность) или можно подобрать фильтр так, чтобы |ф(л)|2 = /(а bJi (X). Тогда права»
204
часть (4) даст интегральное среднее значение спектральной плотности в некоторой полосе частот [a, ft], а левая оценится точно так же, как средняя мощность. В этом и состоит радиотехнический метод оценки спектральной плотности с помощью фильтров. Реализация процесса 1(f) подается на вход некоторой радиотехнической схемы, а с нескольких выходов снимаются усредненные по времени значения мощностей профильтрованных процессов k=\, 2, , N. Получаются приближенные значе-
ния спектральной плотности в ряде точек. Исследуем статистические свойства этих значений.
Процесс \(t), так же как н профильтрованные процессы T)ft(Y)< будем считать вещественным. (Для того чтобы функция фильтра К(и) была вещественной, его спектральная характеристика ф(Х) должна удовлетворять соотношению ф(—х)=<р(Х).) Если функцию <р(Х) брать достаточно «узкой» (чтобы 1<р(А,)12 было похоже на б-функцию), то функция К(и) будет, наоборот, широкой. Поэтому разумно предположить, что процесс i\(t), получающийся усреднением (с весом K(t—s)) значений процесса %(s) для достаточно широкого интервала значений s, будет гауссовским процессом. Если теперь есть два процесса i\\(t) и 1\г(0> отвечающие функциям <pi(X) и фг(Я.), связанным с различными интервалами частот: ф1 (A.)q>2(А.) =0, то значения rn(fi) н г\г (t3) не коррелированы:
ОО 00
4i<*i)-J‘ eiX,‘fl(X)Z(dX), J еш*ф,(>-)ад.
—00 —00
Mill (*i) = Mt]j (/!> T},(fs) =
= f 0.
В гауссовском случае некоррелированность означает независимость.
Получаем, таким образом, следующее весьма важное свойство: оценки спектральной плотности в различных интервалах частот статистически независимы. Это свойство выгодно отличает оценки спектральной плотности от оценок корреляционной функции. Для описания совокупных статистических свойств оценок спектральной плотности в различных интервалах частот достаточно описать свойства одной оценки.
Из формулы (4) ясно, что оценивается не f(Jto), а интеграл, задаваемый правой частью (4). Если в некотором ин-
205
тервале частот f(k) близко к f(ko), то оценим и f(kо); если f(k) быстро колеблется с изменением X, то не сможем оценить ((Xо) достаточно точно. Иными словами, какое-то систематическое смещение у наших оценок будет, но трудно сказать, какое именно, поскольку истинные значения спектральной плотности неизвестны.
При проверке статистической однородности главный вопрос состоит в дисперсии оценки. Реально мы наблюдаем процесс |(t) на некотором конечном интервале Значе-
ния процесса r\(t) имеет смысл брать на некотором меньшем интервале —t", где t' н t" выбираются, исходя из ско-
рости убывания функции К(и) при возрастании Ы: это учет так называемого времени установления фильтра. Для просто-
, т
ты обозначений рассмотрим — Дисперсия тако-
о
го интеграла выразится через интеграл от математических ожиданий произведений вида h(s)|2 • \-ф)|2. В гауссовском случае они могут быть выражены через корреляционную функцию (спектральную плотность) процесса rfct). Этим выражением мы и займемся.
Лемма 1. Пусть ri= (t]b •»),, •»),, ij4)— гауссовский случайный вектор с нулевым средним и с корреляционной матрицей С = = kiy||. », 7 = 1. 2. 3. 4. Тогда
