Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Пусть цилиндры ?1, Сг, •••> Сп> ••• определяются основаниями В\, В2, ..., В„. причем Р(Сп)>е>0. Конечномерные
вероятности обладают следующим свойством: для любого бо-релевского Вп найдется компакт Кп^Вп, такой, что конечномерная вероятность Кп не менее чем конечномерная вероятность Вп минус е/2п. Рассмотрим цилиндры Du D2, ..., Dn...., определяемые основаниями Кп (и теми же моментами времени, что и цилиндры Ci, С2, ..., С„,...). Тогда цилиндры
E\=D\, E2=Dif\D2, ..., En=Di{)D2{)...(]Dn, ...
1) являются вложенными: E{^Ei^...
2) имеют компактные основания;
3) их вероятности удовлетворяют неравенству Р(Еп)^г/2.
Свойство 1) очевидно; докажем 2) и 3). Для того чтобы
пересечь цилиндры D\, ..., Dn, надо взять наибольший набор моментов времени, отвечающий цилиндру Z)„; образовать основания (в соответствующем конечномерном пространстве)
KxXRmi, К,хВГ\..., K«-i* /Г"-1, Кп]
т{>>т2>... >m„_i (3)
и пересечь множества (3). Но множества (3) замкнутые, множество Кп — ограниченное; следовательно, пересечение множеств (3) замкнуто и ограничено, т. е. компакт.
Далее, цилиндры Dn получаются из вложенных цилиндров Сп выбрасыванием множеств вероятности не более е/2п. Поэтому
Р(ЯП) > P(Cn) — S е/2» > е/2.
п—1
Поскольку Еп^Вп, то для доказательства того, что ПВпф0, достаточно доказать, что QEn содержит хотя бы одну точку. Поскольку Р(Еп)^в/2, каждое множество Еп непусто. Возьмем в каждом множестве Еп точку wn=o)n(f).
Проследим за «координатами» точки юп, т. е. за значениями функции ш„(t) при таких t, которые входят в наборы моментов времени
165
... s/(n)s...,
определяющие цилиндры Cu C2,. . ., Cn,. . . (следовательно, и цилиндры Ev E2,. . ., En,. . .). Конечномерный вектор <»n(l)|, tin), получаемый подстановкой вместо t
моментов из <<m| при т^п, принадлежит компактному основанию цилиндра Ет (ибо Ет^Еп). Сейчас мы образуем предельным переходом от точек *»n(t) точку, принадлежащую всем Для этого рассмотрим сначала последовательность векторов шя(0| принадлежащих основанию Ev Выберем такую последовательность значений п, что соответствующие точки юя(0| { (<» сходятся, очевидно, к
точке, принадлежащей основанию Et в силу компактности. Из полученной последовательности значений п выберем такую подпоследовательность, чтобы сходились точки wn(*)!, ,(2) « точке, принадлежащей основанию ?2. Затем из
полученной подпоследовательности значений выберем такую подпоследовательность, чтобы ш„(*)| _<(3) сходились к
точке, принадлежащей основанию Е3, и т. д. Наконец, из всех подпоследовательностей значений п выберем диагональную подпоследовательность. Если брать значения п из диагональной подпоследовательности, то для любого т последовательность шл(/)| ^(т) будет сходиться к некоторой
точке шл, принадлежащей основанию Ет. Но тогда точка ю(/), такая, что «>(*)1/_,(т) = <•>« принадлежит всем Ет, т. е.
пересечение Г) Ет непусто, что и завершает доказательст* во теоремы.
3.4. Борелевская о-алгебра в пространстве функций. Из
теоремы Колмогорова вытекает возможность продолжения меры Р на некоторую о-алгебру, содержащую все цилиндры; в частности, на наименьшую такую о-алгебру, которую естественно называть борелевской о-алгеброй в пространстве функций. Любой сколько-нибудь физически осмысленный вопрос, который относится к поведению значений процесса ?<= = l(t, (i>)=(i)(() на каком-то не более, чем счетном множестве значений /, приводит к событию из этой о-алгебры. Кроме того, в ней имеется большое число событий, не отвечающих физически осмысленным вопросам, например событие
{ю:?(Л о) рационально при t=t\, t2, ...,
В частности, если множество T={t} не более чем счетно, о-алгебры борелевских множеств достаточно для описания сколько-нибудь интересных событий, связанных с поведением процесса ?<.
166
К сожалению, это совершенно неверно для случая, когда Т — {;} несчетно. Например, событие
{u>: sup ?(f, ш)<с> (1)
asS«b
не входит в борелевскую о-алгебру (вообще говоря). Докажем это с помощью простого примера.
Пусть Q=[0, 1], Р — мера Лебега, 7’=[0, 1]. Рассмотрим два случайных процесса: \\(t, w)=0 для всех t и ш; |2(г, (о) = 1, если t=?<n, и %2(t, (о)=0, если t=<o. Конечномерные вероятности для процессов ?i и одинаковы, так как при каждом t (следовательно, и для конечного числа значений г), очевидно, ?i (/, (1>)='?г(? <•>) с вероятностью 1. Однако
sup !-,(*, ш) = 0, sup l2(t, u>)=l для всех ш. Поэтому вероятен <?•. O^t^l
ность события (1) не определяется конечномерными вероятностями, а следовательно, это событие не входит в борелевскую о-алгебру.
Именно это неудобство (с событием вида (1)) можно преодолеть, отправляясь не от любых функций в качестве элементов пространства ?3, а от так называемых «сепарабельных» (функция ш(/) называется сепарабельной, если ее график, т. е. плоское множество точек вида (t, лежит в замы-
