Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
г - =2 су/с/И=% (7)
(где как множества {С/}, так и множества {Dh} дают разбиения й на непересекающиеся части), то два соответствующих выражения для условного математического ожидания дают одну и ту же случайную величину.
С этой целью заметим, что классическая условная вероятность Ра(В) = Р(В/А) как функция множества В есть счетно-аддитивная мера: Pa(Bx + B2+...) ='2Ра(В/) (все дроби
135
PA(Bj) = P(ABj)/P(A) имеют общий знаменатель Р(-4). Пусть теперь дано (7). Образуем множества ?/* = (?/?)* и заметим, что ?=? (ю) можно представить в виде
I = Ъ(ш) =.2 е1к{?,к(ш)- (8>
Запишем для шеЛ, значение М(?/И), вытекающее из (8), и преобразуем полученную сумму:
M(g|30U^ - “ S «л№»И.) =
/ГЛ /.&
= S2 ^P(^/KMi) = S^[2 P(**Mi)] =
= ZCiPiCt/Ai)
I
(использовано равенство е/Л = ?(1»)|«ея/|к = Cj при фиксированном j и равенство = ?/)• Беря суммирование сначала по /, а потом по k, мы из того же выражения получили бы XdkP(?>A|i4(). Корректность определения (6) доказана. Как и в случае интеграла Лебега (безусловного математического ожидания), отсюда вытекает линейность. Доказана
Лемма 2.
Мя(с? + dr) — сМя5 4-
где cud — числа (и известно, что М|||<оо, M|rj!<oo).
Лемма 2 представляет собой правило исчисления, аналогичное правилу для безусловных математических ожиданий.
Замечание 1. Условную вероятность Р« (В) можно понимать как условное математическое ожидание: очевидно,
Ри(5) = Мя/в 1в — индикатор множества В.
Замечание 2. Из леммы 1 вытекает такое правило исчисления:
М*М! - М?. (9)
Действительно, пользуясь определением (6), получаем
Нужно, однако, обосновать перестановку математического ожидания и суммирования. Для этого проще всего прибегнуть к явному виду М(М«?):
М(М«5) = щ(м«б)и*, р(Л) - ? (2 Ci2mt) P(i4,) =
136
= 5 CjP(CjAi)
i. /'
И воспользоваться конечностью
I
Выведем теперь одно новое правило исчисления, аналогичного которому нет в безусловном случае. Окажется, что это правило можно будет принять за определение условного математического ожидания и применить для раскрытия неопределенности в (1) в случае произвольного пространства элементарных событий.
Скажем, что случайная величина т) является 91 -измеримой, если на любом элементе разбиения А,- величина т) принимает постоянное значение. С разбиением U = (At, А2, ... ..., А„,...) связана о-алгебра, элементами которой являются всевозможные (не более чем счетные) суммы элементов разбиения. Очевидно, что введенное понятие измеримости относительно разбиения эквивалентно измеримости функции т] относительно описанной о-алгебры.
На дискретной модели (в которой все подмножества Q измеримы) не очень виден тот аспект понятия измеримости, в котором это понятие важно для использования условных математических ожиданий. Поясним этот аспект. В этой теории вероятностей строятся очень сложные пространства 2 (даже и в дискретном случае). Можно, например, представить себе прямое произведение очень большого (но пока—конечного) числа пространств элементарных событий, отвечающее п опытам. Допустим, что нас интересует не набор результатов всех п опытов, а какая-то суммарная характеристика ? = |(«0 (что-то вроде суммарного числа успехов в п испытаниях Бернулли). Если все возможные значения случайной величины |(ш) обозначить «1. а2, . . . , а„, . . . (oj Ф dj), т. е. ? (со) = ? <*{/*.(ю), то получим разбиение й =¦ А1 4- Аг + . . . +Ап+ . . .. Случайная величина ij, измеримая относительно разбиения 91 (коротко: ^-измеримая), обладает, очевидно, тем свойством, что как только мы знаем, какое из событий Av Л2,..., Лп,... произошло, мы знаем и значение, которое приняла т]. Иными словами, ¦>} = g(?), Где g = g(x) — некоторая функция (на множестве {а,, а%, . . . , ап . . . }): й-измеримые случайные величины — это такие случайные величины, которые однозначно определяются суммарной характеристикой ? для п опытов. Таким образом, вместо о-алгебры всех событий в S3 мы рассматриваем более простую, включающую ие все события, а только некоторые, характеризуемые некоторой суммарной характеристикой. В подобных упрощениях и заключен смысл использования понятия измеримости при вычислениях условных математических ожиданий.
137
Лемма 3. Ми(*)?) =* т)М*?, если случайная величина ц является Л-измеримой (I— произвольная случайная величина, MfoE|<°°). Иными словами, ^.-измеримую случайную величину можно выносить из-под знака условного математического ожидания М«.
Доказательство. Лемма весьма прозрачна, так как в силу определения (6) значение М(||81) ™ МЯ1 на каждом элементе разбиения Ai получится, если взять значения Ч случайной величины ? и взвесить их с весами, равны* ми P(C7|i4i) = P{? = Cj|i4i). Если вместо величины g взять произведение •»& то, если произошло ю еЛ», значение ц1 будет отличаться от значения | множителем 7i = ij(a), принимающим при и>еА{ постоянное значение. Взвешенная сумма, следовательно, умножится на это самое число. Формулами это записывается так: если ц — 2 Аа/®)*
