Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Практически оценки вероятностей любых событий, в особенности маловероятных, не должны обычно претендовать на некую количественную правильность; роль их — чисто ориентировочная. Если, например, стандарт требует обеспечить надежность некоторого изделия «пять девяток», т. е. 1—10-5, то мы никогда не можем быть уверены, что девяток именно пять, а не три или семь, пока изделие находится на стадии испытаний. Если изделие пойдет в массовую серию, то мы, конечно, в конце концов узнаем, какова его надежность, но будет уже поздно. По-видимому, нет научного способа для избежания таких ситуаций.
2.4. Качественная картина, связанная с центральной предельной теоремой. Интересно переформулировать центральную предельную теорему в случае, когда аФ0. Из таблиц нормального закона узнаем, что для нормальной случайной величины т]=о! + а с параметрами а, а верно, например, следующее:
106
Р{1т)—al >3o}=P{!gl >3}«0,3%,
г. e. практически достоверно, что |ii—а|<Зо (правило «трех сигма»). Применяя нормальное распределение на правах точного для sn, получим, что практически достоверно, что lsnl^ ^3, т. е. что
|Sn-MSJ<3]/DS;.
Но fASn=na пропорционально п (если аФ0), VDS„=oVn пропорционально Vп. Таким образом, Sn, вообще говоря, при больших п ведет себя как па (как неслучайная величина), а отклонения, связанные со случайностью, имеют меньший порядок величины }'п: как говорили классики, детерминированная составляющая в конце концов (при большом п) возобладает над случайной. Лаплас считал следствием из центральной предельной теоремы такое утверждение: если за морем у некоторого государства имеется колония, то она в конце концов освободится, потому что ее желание освободиться — детерминированное (не очень понятно, почему желание метрополии удержать в своей власти колонию Лаплас считал случайным). Так или иначе, получается красивая натурфилософская картинка: при малых п сумма Sn ведет себя в высшей степени неопределенно; но с ростом п детерминированная составляющая проявляется все отчетливее, пока, наконец, совсем не возобладает.
Закончим, ориентируясь на эту картинку, исследование игры в 10 и 20 коп., начатое в первой главе (§6). В смысле математического ожидания Mg выигрыша % при одном повторении игры первому игроку выгодно прятать 10 коп. с вероятностью 7/12 и 20 коп. с вероятностью 5/12. Тогда независимо от действий второго игрока М| = 5/12 коп. Для простоты предположим, что второй игрок (от которого М| не зависит) называет любую монету с вероятностью 1/2. Небольшой подсчет дает следующее распределение вероятностей для %:
/ —10 +15 — 20 \
\ 7/24 1/2 5/24 /'
Подсчитаем дисперсию |:
Dg = М|2— (М|)2« Mg2=225.
При этом Mg=5/12 надо сравнивать с VDg = 15: при одном повторении игры преобладает случайный разброс.
Сколько же раз нужно повторить игру, чтобы первый игрок мог с хорошей вероятностью (например, равной 0,975) выиграть хотя бы рубль? Для ответа на этот вопрос нужно подобрать п из соотношения
107
P(Sn = h + •. • +Ь.> 100) =Р *;> —рг -0,975
у 225 п
Из таблиц нормального закона (применяя его иа правах точного) получаем, что
/100--/Л /Уг1257; = —1,96.
I 12 )/
Хотя это уравнение и квадратное относительно Vn, но лучше его решать подбором; получаем п «5150. Это означает, что если игру повторять 10 раз в минуту, то придется играть. 8,5 ч без отдыха, чтобы с гарантированной вероятностью выиграть рубль. Игроку очень трудно скопить начальный капитал (лучше это сделать каким-нибудь иным способом).
Но ситуация профессионального игрока иная: обычно у
него начальный капитал уже есть. Тогда, нграя по 10 раз в минуту, он будет зарабатывать в среднем по 2,5 руб. в час, что довольно прилично. Правда, имеется некоторая вероятность разорения за счет случайных колебаний. Для ее вычисления нужно знать распределение вероятностей min Sn(pa-
л-li 2....
зорение произойдет, если minSn<—К, где К — начальный капитал). Эта задача не была доступна классикам: она решена лишь в XX в. Она выходит и за пределы данной книги (см. гл. XII второго тома книги В. Феллера [40]). В общем, вероятность разорения быстро убывает с ростом /С; игра с большой вероятностью продолжается неограниченное время» принося в среднем 2,5 руб. в час первому игроку.
Видим, что вероятностные модели никак не исключают существования удачливых профессиональных игроков, и притом не шулеров, если игра не чисто азартная (ие все зависит от случайного эксперимента), и за счет допускаемых правилами игры приемов игрок в состоянии обеспечить себе положительное математическое ожидание выигрыша (см., например, известные воспоминания А. Я. Панаевой о Н. А. Некрасове).
2.5. Испытания Бернулли. Отметим особо важный частный случай. Пусть ц — число успехов в п испытаниях Бернулли; положим
= + ••• +Цп.
