Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
— 00
Если x — точка непрерывности функции Pi(x), то из (4) следует, что
<5>
6 точках разрыва функции р%{х) равенство (5) неверно.
Ошибкой было бы считать (5) определением плотности распределения, пригодным для прикладных целей. В приложениях нельзя ограничиться непрерывными плотностями распределения: вскоре увидим, что такие практически важные распределения, как равномерное, показательное и т. д., имеют разрывные плотности. Поэтому потребовать выполнения (5) для всех точек х нельзя. Если же потребовать выполнения |5) не для всех точек х, то обычно хочется сказать, что «для всех х, кроме множества лебеговой меры нуль». Такое определение плотности оказывается неверным: математики придумали примеры таких монотонных и непрерывных функций F(x), что dF(x)/dx=0 для всех точек х, кроме множества лебеговой меры нуль, но функция F{х) благополучно изменяется от 0 до 1.
Определением плотности распределения может быть (4).
Определение функции распределения существует и для многомерной случайной величины l=(|i, ?2. .... ?„)е/?п. Так называется функция Fx(x), задаваемая соотношением
F^x) = /ч,.. (^ii • • • » хп) —• • • > ^п^Хп).
Вероятность попадания случайного вектора | в прямоугольный параллелепипед (часть границы которого включается, часть — нет), может быть (при некотором терпении) выражена через Ft(x). Это означает, что распределение щ определяется по Fi(x) однозначно. Однако роль понятия многомерной функции распределения невелика. Дело в том, что в одномерном случае существует единственная система координат на прямой, с точностью до монотонной замены переменной. При монотонной замене переменной закон преобразования одномерной функции распределения ясен. В многомерном же пространстве возможны весьма многие системы координат. Уже при повороте пространства параллелепипеды с гранями, параллельными координатным плоскостям, непосредственно связанные с многомерной функцией распределения, перейдут в некие прямоугольные, но «косо» расположенные параллелепипеды, непонятно как связанные с функцией распределения. Фактически нет иного средства для того, что-
74
бы установить связь между функциями распределения в разных системах координат, как только по функции распределения восстановить соответствующую ей меру.
В частности, одним из великих благ аксиоматики Колмогорова является то, что в ней не надо строить интеграла Рп-ман а—Стильтьеса
00 оо
| ... /(*i, • •«, .. . , дс„)
—ев —ее
в многомерном случае. (Достаточно интеграла Лебега по мере щ, совершенно безразличного к размерности.)
Короче говоря, в многомерном случае работать нужно не с функцией распределения, а с плотностью распределения. Закон преобразования плотности распределения достаточно ясен, к этому вопросу мы и переходим.
3.3. Преобразование плотности распределения при замене переменных. Пусть ?= (?ь |2, .... \п) — случайная величина, принимающая значения в Rn (либо в некоторой области Rn)\ y=f(x) — гладкое взаимно однозначное отображение Rn на Rn (либо указанной области на некоторую область); это означает, что в координатах отображение y=f(x) записывается в виде
yi = ft (*ь ••., х„), i=l.......л;
причем якобиан — определитель матрицы ||df;/dx/||, i, / = 1,..., п, отличен от нуля.
Пусть случайная величина | имеет плотность распределения Pi(x). Нашей задачей является вычисление плотности Рч(у) случайной величины
т. е случайного вектора ц = (t|i, ..., tin) с компонентами V)i~fi (II, ••., In) , I= 1, * * * , Л.
Заметим, что интегральное определение плотности распределения случайной величины определяет эту функцию с точностью, как говорят, до множества меры нуль, т. е. если значения плотности распределения изменить на множестве (лебеговой) меры нуль, то интегральное свойство плотности не нарушится. Это означает, что если речь идет об определении плотности распределения, то вполне достаточно найти эту функцию для всех точек пространства R'1, кроме множества меры нуль.
В нашем определении плотность распределения является лишь измеримой функцией. Такая общность в приложениях, как правило, не нужна: обычно плотность распределения является кусочно-непрерывной функцией (т. е. разрывы этой функции лежат на каких-то поверхностях меньшей раамерно-
75
сти). Поэтому вполне достаточно определить плотность р*(у) в точках у, являющихся точками непрерывности этой функции. Но в точке непрерывности у имеем, используя интегральное определение плотности,
рШ = lim , (1)
4 Oiv) i у V(0(v))
где O(y) обозначает окрестность точки у, предельный переход 0(у)\у означает, что диаметр (наибольший размер) О(у) стремится к нулю, a V(0(y)) обозначает объем О(у). Произведем следующую выкладку:
РйеО(у)1 г_ Р(/(6)еО(у)) _
V«Hu)) V(0(y))
