Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку случайный эксперимент вводится в игру, то выигрыш первого игрока есть случайная величина (в азартных играх это всегда имеет место; речь идет о рандомизации игр, которые сами по себе не являются азартными).
Обозначим через ?i, ?2... In выигрыши первого игрока в п
последовательных повторениях игры; тогда интерес представляет суммарный выигрыш S„=?i-(-?2+... + ?n, т. е. сумма одинаково распределенных случайных величин. Но поведение суммы Sn в основных чертах описывается законом больших чисел. Полагая а=М{=,- и повторяя выкладки из доказательства закона больших чисел, получим, что
5„=па+б„,
где есть величина порядка Уп (точно это означает, например, следующее: для всякого е>0 найдется число С„ такое, что при каждом п
Р{1б„КСеУп}>1—е).
Тгким образом, при а>0 первый игрок обогащается, при вС0 разоряется. (Случай а=0 теми элементарными методами, которыми мы пока владеем, исследован быть не может.) }?так, если согласиться на асимптотический анализ проб-
43
лемы, первый игрок должен максимизировать а (за счет выбора вероятностей своих стратегий), а второй — минимизировать а. Оказывается, что существует такое значение а• («цена игры»), которое является минимаксным в следующем смысле: первый игрок может обеспечить М|,=а*. какие бы стратегии (случайно или не случайно) ни выбрал второй игрок; с другой стороны, второй игрок может выбрать такие вероятности своих стратегий, что Mgi=a* при любой игре первого игрока.
Приведем пример нахождения а* для так называемой игры в 10 и 20 коп. Первый игрок прячет одну из двух монет — 10 или 20 коп., а второй угадывает, какая монета спрятана. Если он угадал правильно, то он получает эту монету; если ошибся — платит первому 15 коп. На первый взгляд условия игры совершенно симметричны для обоих игроков, но анализ показывает, что у первого игрока есть преимущество.
Итак, пусть первый игрок прячет 10 коп. с вероятностью: р, 20 коп. — с вероятностью 1—р. Подсчитаем математическое ожидание а его выигрыша в двух случаях: 1) когда второй игрок называет 10 коп.; 2) когда второй игрок называет 20 коп.
1) случай: с вероятностью р первый игрок проигрывает 10 коп.; с вероятностью 1—р выигрывает 15 коп.,
а=—\0р+15(1—р) = 15—25р;
2) случай: аналогично а=15р—20(1—р) =35р—20.
При любом поведении второго игрока математическое ожидание выигрыша первого не менее чем
min(15—25р, 35р—20).
Максимум минимума достигается при 15—2Ьр=ЪЬр—20, г.е. при р=7/12 и равен +5/12 коп. Поэтому, чтобы ни делал второй игрок, его проигрыш будет составлять в среднем 5/12 копейки, если первый игрок будет пользоваться рандомизированной стратегией. Не составляет труда подсчитать, что если второй игрок будет пользоваться рандомизированной стратегией, то его проигрыш составит в среднем 5/12 коп. независимо от поведения первого игрока. Итак, а*=5/12коп.; игра выгодна для первого игрока.
К сказанному нужно прибавить два комментария.
Во-первых, реализация случайного эксперимента с вероятностью одного из исходов р=7/12 достаточно трудна. Если же окажется, что на самом деле р= 1/2, то преимущество первого игрока будет полностью потеряно (а=0). Лучше воспользоваться заготовленной заранее (например, с помощью ЭВМ) таблицей случайных чисел. Однако в этом случае противник может разгадать алгоритм, с помощью которого полу-
44
1:сяа вся последовательность («случайные» числа ЭВМ на самом деле — псевдослучайные, получаемые с помощью некоторых чрезмерно простых алгоритмов; мы еще встретимся с этой проблемой).
Во-вторых, мы произвели лишь асимптотический анализ задачи (при очень больших п). Для каких реальных п приго-леи наш анализ, например сколько раз нужно повторить игру, чтобы с близкой к 1 вероятностью можно было выиграть рубль, мы пока сказать не можем. Из неравенства Чебыше-. isa такие оценки вытекают, но они слишком грубы. Ниже мы увидим, что приносит для этой задачи центральная предельная теорема.
§ 7. Проверка статистических гипотез
Этим параграфом мы заканчиваем элементарное введение в теорию вероятностей, из которого (кроме элементов математического аппарата) должно быть, в общем, можно понять, какое круг одновременно наиболее простых и наиболее массовых применений теории вероятностей. Целесообразно проверку статистических гипотез рассмотреть с точки зрения какой-нибудь актуальной общественной проблемы: какую роль могут играть в решении этой проблемы вероятностно-стати-стические методы? Имеется целый ряд таких проблем; мы более пли менее произвольно выбираем проблему качества про-лукции.
Надо прежде всего понять, что оценка качества продукции на основании предъявленного единичного готового изделия есть дело практически безнадежное. Допустим, что мы купили в магазине настольную лампу, которая эстетически достаточно хороша, но должна, конечно, еще и гореть. В настольной лампе имеется порядка десятка винтов электрических контактов, которые все должны быть плотно завинчены. Если какие-то из них завинчены неплотно, то лампа может гореть в магазине, некоторое время дома у покупателя, но вскоре контакты обгорят и лампа погаснет (в данном контексте мы не рассматриваем возможность развития дефекта в ^вар/но). Чтобы проверить затяжку контактных винтов, существует лишь один способ — разобрать лампу и завинтить все винты самому. (Измерение электрических сопротивлений на новой лампе ничего не даст.) Пожалуй, ни отдел технического контроля завода, выпускающего лампы, ни (как правило) покупатель на этот способ не согласится.
