Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Но для выделения периодической компоненты нужно прежде всего, чтобы эта компонента существовала. Это означает, что периоды колебания должны выдерживаться столь точно, что при большом п за время от 1 до п не происходит заметного сбоя фазы колебаний <р(/): иначе применение функций eiU (либо других строго периодических функций), которые точно выдерживают фазу колебания, не имеет смысла.
Классическим примером строго периодического процесса являются, например, затменные переменные звезды (вокруг одной звезды обращается другая). Мы не можем разрешить эти звезды, т. е. увидеть их, как отдельные, а наблюдаем как бы одну звезду переменной яркости. Но где же в явлениях хозяйственной жизни либо в социальных, метеорологических и т. д. найти механизмы, обусловливающие точную периодичность во времени? (Под метеорологическими явлениями подразумевается не то, что происходит в течение года — тут был бы строго периодический процесс в виде движения Земли по орбите, а то, что происходит в течение многих лет.) Кроме того, модель (2) со случайными ошибками б<, каждая из которых не влияет на дальнейший ход процесса (является в чистом виде ошибкой наблюдений), во многих случаях уже при глазомерном анализе ряда наблюдений
(1) выглядит нереалистической: никакого независимого разброса наблюдений вокруг некоторой гладкой линии не видно. Поэтому попытки применения теории случайных процессов начались с создания моделей, способных описывать волнообразные колебания, не имеющие, однако, строго определеи-ного периода. Рассмотрим модели скользящего среднего и авторегрессии.
1.2. Скользящее среднее. Модели случайных процессов строятся тем или иным способом, исходя нз модели независимых случайных величин. Е. Е. Слуцкий [35, с. 99—132) предложил следующую модель скользящего¦ среднего:
го—I
?< = 2 м
е—О
344
уел. ед.
Рис. 6. Индекс английской конъюнктуры (сплошная линия) и отрезок ряда скользящих средних (пунктир) (источник: [35])
где а, — некоторые (неслучайные) числа, {б<} — последовательность независимых одинаково распределенных величин. Из рядов наблюдений обычно тем или иным способом вычитают неслучайную составляющую; остаются, следовательно, величины, колеблющиеся вокруг нуля. В математической модели считаем, что
М|«=М6,=0. (2)
Интерпретировать модель (1) можно, например, так. Значение экономического показателя %t, рассчитанного в году t,
есть сумма значений его «причин» bt, 6<-i...... 6/-т-м 33 я*
лет, но причины эти берутся с весами а*, вообще говоря, убывающими с ростом s.
Используя случайные числа, полученные при розыгрыше облигаций займов, Е. Е. Слуцкий моделировал несколько рядов скользящих средних. Удалось даже подобрать отрезок такого ряда, похожий на отрезок значений индекса английской конъюнктуры за 1855—1875 гг. (рис. 6). Таким образом, по зрительному впечатлению модель скользящего среднего может дать ряд наблюдений, похожий на ряд наблюдений некоторого экономического показателя. Никаких более глубоких выводов Е. Е. Слуцкий не делает.
При какой-то статистической обработке конкретных данных с помощью модели скользящего среднего пришлось бы определить параметры этой модели, т. е. порядок т, коэффициенты at и дисперсию величин б/. Идентификация параметров, как оказывается, довольно неудобна, и потому широких попыток применения модели скользящего среднего нет. Несколько более повезло в этом смысле следующей ниже модели авторегрессии.
345
1.3. Авторегрессия. Модель авторегрессии предложена Э. Юлом в работе [57], посвященной исследованию изменения во времени числа солнечных пятен. Юл рассуждал примерно следующим образом.
Весьма легко представить себе процессы, в которых случайное вмешательство в момент времени t включается в дальнейший ход процесса. Предположим, например, что в комнату, где качается (без трения) маятник, проникли мальчишки и принялись стрелять в маятник горошинами. Пусть мы регистрируем положение маятника в дискретные моменты времени f=l, 2,... и хотим по этим наблюдениям найти важную физическую величину — период невозмущенного колебания маятника.
Юл полагал, что моделью, описывающей подобные наблюдения, является следующая:
1 + ... + С6т|<-т+б<, (1)
где {6<} — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, причем 6< не зависит также от ?<-1, |<-2,.... Уравнение (1) называется уравнением регрессии; поскольку речь идет о регрессии значения процесса на предыдущие значения |<_|, |/_2,..., %t-m того же процесса, то модель (1) называется моделью авторегрессии.
В частности, для маятника (без трения), описываемого моделью у"+ау=0, если мы его регистрируем в моменты io+kh, k=0, 1, 2....Юл предлагал использовать модель
А2** + «2А*** = б*+а, (2)
где xk~y(t0+kh), у(/) — реализация возмущенного движения; A**k=xk+i]—+ хк, (8к) — независимые случай* яые величины. Разрешая (2) относительно х4+2, получаем
