Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Целесообразно для начала привести пример ситуации, когда систематической ошибки действительно нет.
309
Пример 1. Простейшим из известных автору приборов, в показаниях которого в отдельных измерениях можно наблюдать разброс, является микрометр. Например, измерения диаметра монеты с помощью масштабной линейки или штангенциркуля никакого разброса вообще не дают. Но микрометр устроен хитрее: его измерительная шкала растянута за счет того, что при измерении вращается винт, причем полный оборот впита соответствует перемещению измерительного упора на 0,5 мм. Разделив окружность головки винта на 50 частей, получаем, что одно деление шкалы соответствует 0,01 мм. При такой точности монета перестает быть правильным круглым диском: результат измерения зависит от угла поворота Ф монеты относительно системы координат, связанной с микрометром. Иначе говоря, перестает существовать диаметр монеты вообще, но существует диаметр а(ф) в данном направлении ф: это то расстояние, на которое можно свести упоры микрометра, если между ними находится монета, повернутая на угол ф. (Усилие давления на измеряемый предмет стабилизируется простеньким механизмом, называемым трещоткой.) Факт существования диаметра а(ф) в данном направлении есть факт экспериментальный: если относительное положение монеты и микрометра не менять, то результаты измерения стабилизируются в пределах одного деления.
Если мы все же хотим иметь понятие диаметра монеты, не зависящего от угла ф, то мы должны ввести его определение, например определить его как среднее значение:
где 6i—а(ф,)—й. Можно себе представить программу измерений для определения а пида: ф, = ф0 4- J Аф- В таких измерениях нет ничего случайного. Можно, наоборот, считать, что ф], . . . , ф„ — независимые случайные величины с равномерным распределением на окружности (каждая). Тогда формула (2) означает, что M.v,= Mn((pi)=e, т. е. систематической ошибки нет. Распределения величии .г, (либо ошибок Bj-ea.tj — а), конечно, отличаются от нормального. Но при нескольких десятках наблюдений
распределение величины ;с *= —V xt уже должно быть
п с-
близким к нормальному; дисперсию а* оцениваем с по-
(2)
Если i-му измерению соответствует поворот ф,-, то а(ф<)=а+а(ф<)— а=а+6<,
310
Moirbio sa — — x)2 и применяем центральную пре-
дельную теорему. В результате узнаем, насколько х может отличаться от а.
Если мы сделали две серии измерений одним и тем же микрометром, то две оценки значения а будут, скорее всего, разумно близки (различие между этими оценками не должно быть высоко статистически значимым с точки зрения обычной техники проверки гипотез, основанной на центральной предельной теореме). Но если в двух сериях измерений использовать два различных микрометра (у которых, например, по-разному сбиты измерительные шкалы, либо по-разному отрегулированы трещотки), то можно говорить о систематическое сдвиге показаний и т. д. Иначе говоря, уже в описанном простом примере измерения возникают разнообразные проблемы.
Но можно еще п диаметр определить по-другому, например положить а* = supa(<p). Тогда все наблюдения
Ф
будут иметь систематическое смещение:
Лиj —a, а — а* — а — sup а(<р) < 0.
<9
Наконец, с точки зрения концепции допусков и посадок диаметр почти круглого предмета естественно определить как диаметр наименьшего идеально круглого отверстия, в которое можно этот предмет просунуть .(без натяга). Связь так понимаемого диаметра с измерениями при помощи микрометра вообще неоднозначна: здесь требуются иные средства измерений.
Вывод заключается в том, что предположение отсутствия систематической ошибки может выполняться илн не выполняться в зависимости от конкретной задачи измерения.
Пример 2. Обратимся теперь к реальному физическому примеру. Рассмотрим известные измерения Милликена заряда электрона (задачник {27], задача 456). Имеются 58 наблюдений, которые дают значения заряда от 4,740 до 4,810-10-10 эл.-стат. ед. На рис. 1 изображена в нормальном масштабе эмпирическая функция распределения. По глазомерной оценке, сходство этой ступенчатой функции с прямой (изображающей в этом масштабе нормальный закон) настолько хорошее, насколько вообще может быть при объеме выборки л = 58. После сглаживания получаем *«4,781, 5 — 0,0155. Арифметические вычисления дают *=4,7808, s= =0,0153. Среднеквадратическая ошибка выборочного среднего значения составляет
s!Y~n = 0,00202.
311
Рис. 1. Эмпирическая функция распределения заряда электроаа по данным Мнлликена (источник данных: [27])
Мы ожидаем, что х отличается от истинного заряда электрона на величину не более 2s/Уп«0,004, что составляет около 1/1000 от измеряемой величины. Однако, согласно справочнику [431, современное значение заряда электрона составляет 4,80288 эл.-стат. ед. Следовательно,
312
если принять значение справочника за точную истину, имеем
<4,80288 - 4,780S)/(s/n> - 11
