Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
/'(*)= Ит /„'(*), a<x<b.
П—»+ со
б) Пусть ряд (6) непрерывно дифференцируемых на [а, 6] функций
+00
ип(х) сходится при некотором х0е[а,Ь], а ряд Xwn(x) производных
Л=1
+00
сходится равномерно на [а, 6]. Тогда сам ряд Yjun(x) сходится равномерно
п=1
на [а, Ъ] к своей сумме S(x) и справедливо равенство
+00
?'(*) = Е“»(*)• хе\-а’ Ъ],
п=1
ИЛИ
f
^ +оо Л +оо
=2X00- хе[а,Ь].
\п=1 / П=1
Таким образом, если ряд (6) непрерывно дифференцируемых функций и ряд, составленный из их производных, равномерно сходятся на [а, 6], то сумма ряда (6) непрерывно дифференцируема на [а, b] и ее производная равна бесконечной сумме производных членов данного ряда, т.е. ряд (6) можно почленно дифференцировать.
Теорема 11 (почленное интегрирование функциональной последовательности и функционального ряда).
а) Пусть последовательность (/я (х)) непрерывных на [a, b] функций равномерно сходится на [а, Ь~\ к предельной функции /(х), тогда
J/,(0* : Ha [a, b],
x0 *0
где x0 - фиксированная точка [a, b~\.
6) Пусть ряд (6) непрерывных на [a, b] функций un(x) сходится
равномерно на [a, b]. Тогда функциональный ряд ? \иЛ{)^ сходится
"=1 дс0
равномерно на [а, Ь] и справедливо при всех х е [а, Ь~\ равенство
х / +00 Л +00 х
J Ем„(0 Л = Е я <х0 <6,
*0
Л=1 / Л=1
т.е. по-другому ряд (6) можно интегрировать почленно.
Пример 7. Функциональный ряд
+Q0 1
х" =1-х + х2 +... + (-1)" х" + ... =--- (9)
л=0 1 + X
на сегменте \-q, q\, 0 < q < 1, равномерно сходится в силу признака Вейерштрасса (см. пример 5). На основании теоремы 11 ряд (9) можно почленно интегрировать:
)dt-)tdt + )t2dt + ... + (-l)n)tn dt+ ... = )
00 О О О1+f
и после вычисления интегралов получим
х2 х3 х"+1
Х- —+ —+ ... +(-1)»_+ ... = 1п(1 + х). (10)
2 3 и + 1
Поскольку q - любое число из (О, 1), то равенство (10) справедливо при всех
хе(-1,1), тем самым мы получили разложение элементарной функции
1п(1 + х) в ряд по степеням х.
3. Степенные ряды. Функциональный ряд вида
+оо ^
Yjakix~xo)k =ao +ax{x-xQ) + ... +<zt(x-x0) +..., (11)
t=0
где ak и x0 - заданные действительные числа; x - переменная величина, которая может принимать любые действительные значения (числа), называется степенным рядом с центром в точке х0 или рядом по степеням х-х0. Если в
ряде (11) заменить х-х0 на t, то получится степенной ряд с центром в точке
t = 0 . Поэтому, не теряя общности, в ряде (11) положим х0 = 0:
+°0
Yjakxk = ao + alx + ... + akx +... . (12)
k=0
Исследование сходимости ряда (11) равносильно исследованию сходимости ряда (12). В связи с этим в дальнейшем рассмотрим ряд вида (12). Прежде всего заметим, что всякий степенной ряд (12) сходится в своем
центре х = 0. Например, степенной ряд
п=О
сходится только в своем центре х = 0. В этом легко убедиться на основании признака Даламбера. В самом деле, пусть переменная х Ф 0 и зафиксирована. Тогда ряд (13) превращается в числовой ряд с общим членом сп=п\хп. Вычислим предел
с.
lim
"п+\
= lim | х | (я +1) = | х | lim (я +1) = + оо.
Следовательно, в силу теоремы 4 ряд (13) в точке хфО расходится. В силу произвольности х данный ряд расходится при всех х Ф 0 .
Ряд (2), если считать х переменной, является степенным и он сходится
х | < 1 и расходится при | х | > 1.
Следующий степенной ряд
при
х , X X X
? -7 = 1 + ТТ + ^+ ••• +
4=0 П\
1! 2!
и!
¦ +
сходится абсолютно при всех х из числовой прямой. В этом можно также убедиться на основании признака Даламбера.
Теорема 12. У всякого степенного ряда (12) существует единственное число г, называемое радиусом сходимости, такое, что при всех х,
удовлетворяющих неравенству \х\<г, ряд (12) сходится абсолютно, а при
