Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Утверждение 1. Внутри области G, ограниченной замкнутой траекторией системы (А) (п - 2) и целиком лежащей на фазовой плоскости, существует по крайней мере одна особая точка.
Отсюда, в частности, следует, что если в некоторой области фазовой плоскости нет особой точки системы (4), то в этой области нет и замкнутых траекторий.
Утверждение 2. Пусть G - ограниченная замкнутая область, лежащая на фазовой плоскости системы (А) и не содержащая ее особых точек. Если
381
траектория I решения х = (p{t) системы (4) при п = 2 в начальный момент времени t - tQ выходит из точки, лежащей в области G, и остается в G при
всех t >t0, то траектория I либо сама является замкнутой, либо с
течением времени она по спирали наматывается на замкнутую траекторию.
Коротко это утверждение можно сформулировать так: ограниченное предельное множество траектории I, не содержащее особых точек, состоит из одной замкнутой траектории.
Доказательство утверждений 1 и 2 можно найти в [9, гл. 2, § 5].
Из утверждений 1 и 2 вытекает следующий принцип кольцевой области: пусть на фазовой плоскости системы (4) построена кольцевая область G, через границы которой все интегральные кривые при t >t0 входят в нее или одновременно все выходят из G, тогда если эта G не содержит особых точек, то внутри G содержится предельный цикл.
Внутренняя граница кольца может вырождаться в особую точку.
Эти геометрические признаки весьма трудны при практическом применении, так как не указаны правила построения нужных кольцевых
областей. Наиболее употребляемый прием - это рассмотрение семейства замкнутых дифференцируемых непересекающихся кривых F(x, у) = С = const. Такое семейство называют топографической системой. В качестве такой
системы рассмотрим семейство концентрических окружностей: х2 + у2 = С2. Производная от функции F(x,y) = х2 + у2 в силу данной системы
^ = Р(х,у), ^ = Q(x,y) (10)
dt dt
имеет вид
= 2Х~Т + 2У~ - 2(хР + yQ) ¦ (11)
dt dt dt
Отсюда вытекает
Утверждение 3. Если существуют такие две постоянные г0 и гу, г0<г1, что для х2+у2=г2 выражение xP + yQ> 0, а для х2 + у2 = г2 выражение хР + yQ < 0 ив кольце G между окружностями г - г() и г = гх нет особых точек системы (10), то в G содержится содержится устойчивый предельный цикл; если знаки xP + yQ обратны указанным, то в кольце G имеется неустойчивый предельный цикл.
В самом деле, равенство (11) в первом случае показывает, что через круги
х2 + у2 = г2 и х2 + у2 = г2 интегральные кривые системы (10) не могут
выходить из кольцевой области G при росте параметра t, а во втором случае при уменьшении параметра t.
Утверждение 4. Если в односвязной замкнутой области фазовой плоскости выражение Р[ + Q'y сохраняет знак и не тождественно
обращается в нуль, то в этой области система (10) не имеет замкнутых траекторий.
Доказательство. Пусть G - односвязная замкнутая область на фазовой плоскости, граница Г которой целиком состоит из траекторий системы (10). Тогда по формуле Грина (см. гл. 1, § 20, п. 3 )
Я!
дР SQ
дх ду
dxdy = JPdy -Qdx = J(P Q-Q-P)dt = 0,
г г
но это возможно только тогда, когда выражение Р'х + Q' меняет знак внутри области G .
В плоском случае предельные циклы могут быть соответственно трех видов (рис. 21): устойчивые (а), неустойчивые (б) и полуустойчивые (в).
Здесь устойчивость понимается в ином смысле, чем в §13.
Пример 1. Показать, что система уравнений на плоскости
(хих2) = (х,у)
X = —у + х(1 - у]х2 + у2),
у' = х + у(1-^х2+у2)
имеет единственное положение равновесия (0,0) и устойчивый предельный цикл.
Решение. Для исследования данной системы удобно на фазовой плоскости (х,у) перейти к полярным координатам x = rcos<p, y = rsin<p, r> 0. Тогда из данной системы получаем следующие уравнения для определения r'(t) и <p'(t):
r'cos<p-rsin<p-<p' = -rsin<p + rcos(p-(l-r), г' sin^ + rcos^-^' = rcos^ + rsin^-(l-r).
Отсюда имеем
г' = r(l-r) , ф' = 1.
Первое из этих уравнений имеет два частных решения г = 0 и г = 1. В области
0 < г < 1 производная r'(t) > 0, следовательно, решение r(t) возрастает от нуля до единицы, а в области г > 1, напротив, r'(t) < 0, и функция r(t)
убывает от бесконечности к единице. Поскольку (p = t + (p0, то при г Ф О и г Ф 1
все траектории при t —» + оо с обеих сторон от окружности г = 1 приближаются
по спирали к ней. Следовательно, окружность г = 1 является устойчивым предельным циклом. Положение равновесия х = у = О есть неустойчивый фокус.
Пример 2. Показать, что система уравнений
dx X 2 2 \ dy у л 2 2 \
-~ = У + ТТ=7(1-Х -У2), -% = -*+ I 2 2 ~У)
