Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
существованием степени xv. Если v таково, что существует степень ху и для всех х <0 , то функция Jv(x) определена на всей числовой прямой. Например,
при v = n € N^J {0} функция Jn(x) определена при всех xeR.
Используя корень p2=-v, построим второе решение уравнения (13). Это решение можно получить, исходя из решения (16), заменой v на -у, так как при такой замене вид уравнения (13) не изменяется:
л:
y2(x) = J_v(x) = X
r-\2k~v
(17)
к=о к! Г (-V + к +1)
Если v не равно целому числу, то функции Jv(x) и J_v(x) линейно
независимы на интервале (0, +оо), так как их отношение не является
301
постоянной. Тогда линейная комбинация
y{x) = a,Jv{x) + a2 J_v{x) на (0, +со) определяет общее решение уравнения (13).
Если v <? Z , то линейные комбинации :
К (х) = —-— [Jv(x)cosvn-J_v (х) ], smvn
Н„\х) = Jv(x) + iYv(x) = ~^—[J.v(x) ~ Ux)eiv* 1 •
i sm v n
(19)
(20)
nf (*) = J,(j)-lT,(j) = TJ— [/,(!)?"' -/_„(*)]
i sm v я
также являются решениями уравнения (13). При этом Yy(x) называют функцией
Бесселя второго рода или функцией Неймана, Н{х)(х) и х) называют функциями Бесселя третьего рода или функциями Ганкеля.
Пусть v = ne N . Тогда
(_!)* / \2k-n
к=ок\Г (-п + к +1) к=п+т,
=1
(-1 у
к=п к! Г (-п + к +1) V 2
\ 2 к-п
т = 0, 1, 2,..
= (-!)"!¦
(-1)
т ( ¦
2 т+п
= (-1
»=ом!Г(л + т + 1)
так как Г(0) = Г (-1) =... = Г (-и + 1) = со, Г (-и + к + 1) = Г (т + 1) = т\, (и + т)!=Г(и + т + 1). Следовательно, решения J„(x) и J_„(x) линейно зависимы на R . В этом случае, т.е. когда v = n, п = 0,1, 2,..., общее решение уравнения (13) определяется по формуле
y(x) = a,Jn(x) + a2Yn{x), где функция Yn(x) определяется как предел от функции (18) при v —» п, т.е.
Г,(х) = lim КМ = lim .
sm vn
Применяя к пределу (21) правило Лопиталя, получим 1
(21)
вд=-
71
dv
dv
1 +°°
71 к=0 V-^
у=п / \2 к+п
7i 2 71 Т?Л2) к\
2 7tf^\2
1Р(л + * + 1) + 'Р(* + 1)
(22)
к\{п + к)\
где п = 0,1,2,..., (х) = Г'(х) / Г (х) - логарифмическая производная
гамма-функции, причем
'Р(* + 1) = 1 + - + - + ... + --г, к = 1,2,...,
здесь Ч'(Г) = у = 0,572156649... - постоянная Эйлера; при п = 0 в равенстве
(22) конечная сумма отсутствует.
Отметим, что при любом neN: Y_n(x) = (-1)" Yn(x) .
Для функций Бесселя справедливы следующие формулы дифференцирования:
d х
(23)
d
(xv Jv(x)) = xv
Справедливость формул
(24)
непосредственным
d х
(23) и (24) проверяется дифференцированием ряда (16) для функции /Дх). Из этих формул отметим два важных частных случая. При v = 0 из (23) следует, что
J'0(x) = -J}(x).
При v = 1 формула (24) принимает вид
д:
(xJl(x))' = xJ0(x) или х/,(х) = jtj0(t)dt.
О
Производя дифференцирование в формулах (23) и (24), получим рекуррентные формулы, связывающие функции /Дх), Jv+l(x) и /^(х). Действительно, из формул (23) и (24) имеем:
+ Jl(x) = Л-,(*) ¦
X X
Складывая и вычитая эти равенства, получим
2v
Jv+\(*) + Л-i (*) = — Jv (*) .
х
(25)
Л+10)-Л-,0) = -2Л0)- (26)
Отметим, что формулы (23) - (26) справедливы и для функций Бесселя второго и третьего родов (18) - (20), т.е. для функций ГДх) , Н{^{х) и H^ix) .
На практике часто возникают функции Бесселя полуцелого порядка. Найдем выражение для функций /, (х) и J , (х). На основании следующей
2 2
формулы для гамма-функции:
Г(х + «) = х(х + 1)-... -(х + п -1)Г(х) , где хфО, -1, -2 ... , п = 1,2,... , предварительно вычислим:
1-3-5-...-(2* + 1) г
—---------—-------л/ я —
2
г (1 1 + г ГГ
-+к+1 ~ 1
U J " 2 U J .2,
{2к + \)\4тс _ (2к + \)\л/я
2-4-6-...-(2к)-2
к+1
к\2
2к+\
к = 0,1, 2,...,
