Сигнал о некоторых понятиях кибернетики - Полетаев И.А.
Скачать (прямая ссылка):
а дизъюнкция
X \JY = X&^, (7.4)
что нетрудно проверить по таблицам. Здесь знак равенства означает эквивалентность обоих выражений в смысле ложности и истинности. Обычно, однако, применяют дизъюнкцию для упрощения записи.
В других разделах логики—исчислении предикатов и исчислении классов—применяются формально те же соотношения между логическими переменными, но в них вкладывается иной смысл. Интерпретация логических 14 И, А, Лол стае» 209
связей в исчислении классов в ряде случаев помогает освоиться с формализмами теоретической логики.
В исчислении классов под переменной X понимают уже не высказывание, а класс или множество элементов или предметов, для которого истинно данное утверждение (предикат). При этом в рассмотрение вводятся также пустой класс, не содержащий элементов, и класс всех предметов, включающий все возможные элементы. Можно изобразить класс всех предметов в виде площади прямоугольника и класс X как часть этой площади, ограниченную, например, окружностью. Тогда выражение X &Y будет пересечением классов X и Y, т. е. площадью, принадлежащей обоим классам одновременно. Подобные истолкования получают и другие логические выражения.
Иногда для обозначения конъюнкции принимают алгебраический знак умножения (•)> для дизъюнкции—сложения ( + ), и вводят алгебраический знак равенства ( = )
X&Y = X-Y; X\JY = X-\~Y. (7.5)
Применяя эти обозначения, мы приходим к привычным и потому легко запоминающимся соотношениям:
Х& Y X\JY 0-f х = X
0-0 = 0 0-f 0 = 0 0.Х = 0
0-1=0 0+1 = 1 \-х=х
1-0 = 0 1 ---|--- 0 = 1 Y + X
1-1 = 1 1 + 1 = 1 X-Y=y ¦X
X + (K+Z) = (X + n+Z X{YZ) = (XY)Z X(Y4-Z) = XY + XZ
Однако соотношение 1 + 1 = 1 уже выходит за пределы привычных. Кроме того, в эгих обозначениях верны также и следующие соотношения:
Х + Х + Х + Х = Х\ Х-Х-Х.Х = Х\ Х+\ = \\
X + KZ = (X + K)-(A' + Z) и т. д. (7.7)
Эти соотношения не верны для обычной алгебры. Поэтому, во избежание недоразумений, логические связи лучше записывать без помощи алгебраических знаков, оставив только знак равенства.
Любое сложное логическое высказывание можно привести к так называемой «нормальной форме», представ-
210
ляющей собой конъюнкцию членов, содержащих только дизъюнкции переменных и их отрицаний или же дизъюнкцию конъюнкций членов. Приведение к нормальной форме производится последовательным применением эквивалентных преобразований вида:
X&Y = Y&X; X\J Y = Y \J X (коммутативность); (7.8) X& (Y\z'Z) =X&Y\/X&Z\ X V (Y&Z) =
= X\/Y&X\/Z (дистрибутивность); (7,9)
(X&Y)&Z = X& (Y&Z)\
Рис. 7.31. Символическое изображение логических операций в исчислении классов.
Х\/ (Y \JZ) = (X\JY) \JZ (ассоциативность); (7.10)
^ = X\^=X\l^=Xy?\T^Y = XSY. (7.11)
Обозначая сложное выражение W (в виде функции {) от аргументов Xl$ X2i Х3,.. . , Хп,
W=f{Xlt X2i XZ9...,Xn),
можно показать, что функция f(Xu Х2, Х3, . . . tXn) равна ее разложению по одному или более переменным:
f(Xu х2,х ......хп) = [X.&f (1 ,Х„ *„)] V
V[^&f(0, *2, Х3,...ДЯ)Ь(7Л2)
14* 211
/(Х„ х.,, х3.....^/I) = [xI&xa&;(t, i, х3,..., *„)1 V
V х3.......jgiv
V[x,&x2&f(о, i,*8.........х„)]\/
V[Xi&X2&f(0, O, X3, ...,Z„)1(7.13)
и т. д. или же
f (Xu X%9 X%9 . . . , Xn) = [X\ v f (0, *2> *3. * ¦ * > xn)\&
&lXx\/f{l9Xl9X2t XZ9...9Xn)] =
= [Xi\/X2\/f{0,0, X3, . . . ,
......^1*
&ix{\jx2\jf(i,o,x3,
(7.14)
и Т. Д.
Продолжая разложение и проводя его по всем переменным, получим выражение W в одной из нормальных форм.
Отметим еще логическую операцию, обозначаемую так называемым знаком Шеффера. Эта операция интересна тем, что все логические связи можно представить с помощью одной этой операции. Связь двух переменных X и У с помощью знака Шеффера обозначается Х/Y и записывается словами: X и У несовместны. Эта связь эквивалентна отрицанию конъюнкции или дезъюнкции отрицаний
XjY = JC&Y = X\JY. (7.15)
В этой записи
XjX = Х; (Х1Х)ЦГ1У) = Х1У = Х\/Г и т. д.
Очевидно, если дизъюнкция и отрицание могут быть выражены с помощью только знака Шеффера, то то же можно сделать и со всеми остальными связями.
Релейные схемы
Реле с двумя контактирующими электродами может иметь лишь два состояния: включено и выключена, подобно высказыванию логики, которое может быть либо истинным, либо ложным. Логические связи между высказыва-
212
ниями могут быть успешно сопоставлены со схемами взаимных соединений между реле.
