Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
dx
Ж
HV
- dx\ dxt dx\
dhv ^2v ' dfmv
dx„ dx dx
m m
- di lv rf/2v ‘ ^mv
Л 0
0 uv
0 0
= vvE.
(9.13)
Чувствительность вектора х к вариациям элементов матрицы F, таким образом, оказывается достаточно большой. Нулевая чувствительность вектора х к вариациям v достигается ценой
большой чувствительности системы к вариациям элементов но-еого канала связи F.
Пр и мер 9 2.1. Рассмотрим пример из области терморегуляции, демонстрирующий как достоинства, так и недостатки компенсации с помощью прямой связи. На рис. 9.3 показана простейшая модель системы с каналом, измеряющим температуру внешней среды V. Пусть приток тепла от процессов обмеиа веществ W — 50 ккал/м2-час в стационарном режиме уравновешивается теплопогерями У, причем
Y = k(X-V), (9.14)
где X— температура тела, V—температура среды, k — коэффициент. При k = k0 = = 0,34 ккал/м2-час-град в стационарном режиме при V = 20° температура тела X = 37°.
В схеме имеется активный механизм терморегуляции, построенный по принципу прямой связи. Терморецепторы, чувствительные к изменению У, фиксируют изменения температуры среды, что приводит к включению центральных механизмов терморегуляции и последующему
изменению коэффициента теплоотдачи k.
Уравнение (9.14) при этом заменяется следующим уравнением:
Y^k0[\+f-(V-V0)](X-V), (9.15)
где значение коэффициента теплоотдачи k0 при температуре окружающей среды V0 = 20 принято за исходное, а коэффициент f определяет характеристики прямого канала.
Величину f в соответствии с (9.11) можно выбрать так, чтобы обеспечить
инвариантность X в некоторых заданных условиях среды, т. е. чтобы измене-
ния V не сказывались на температуре тела X. Для этого надо линеаризовать уравнение (9.15) и выбрать в точке линеаризации такое j, которое удовлетворяет (9.11).
Линеаризация уравнения (9.15) в точке (V\, -^ч) дает
x = ax + bv, (9.16)
где х = X — <Yi, v = V — V и д = &о(—1 — fV\-\-fVo), 6 = & о (—fX i Ч- 1 4-
+ 2fVi-fV0).
При Vi = V0 = 20, Xt = 37 получаем a — —k0, b — k0( 1—fXj+fVi). Коэффициент b обращается в нуль, если
f = xllVi — 0,059. (9.17)
При таком значении f переменная X в системе оказывается инвариантной к изменению температуры внешней среды в точке V = 20°.
Стоит, однако, параметрам прямого канала несколько измениться, как компенсация нарушается, и величина X начинает сильно зависеть от окружающей температуры V. Эта зависимость определяется величиной производной в стационарном режиме. Действительно, имеем
w—k(^v)-~x'+2v,~3’ (9'Iв,
Рис. 9.3. Простая модель компенсации в системе терморегуляции по принципу прямой связи. Активные механизмы терморегуляции могут обеспечить инвариантность температуры тела лишь в малом диапазоне изменений темпера* туры среды. Большое изменение окружающей температуры вызвало бы отклонение температуры ядра тела на одии-два градуса.
т. е. изменение f, например, на 0,1 приведет к довольно заметному сдвигу температуры Xi на 0,3 °С.
Посмотрим теперь, каким может быть диапазон изменений величины коэффициента f в исходной нелинейной системе на рис. 9.3. Легко видеть, что введенный в модель механизм теплоотдачи работает только при V < 37. При изменении значения температуры среды V\, при котором происходит линеаризация, значение коэффициента f в линеаризованном уравнении (9.16), обеспечивающее инвариантность переменной х, должно меняться. Например, при Xt = 37, Vi — 35 это значение оказывается равным / = l/(Xt — 1^) = 0,500. Таким образом, диапазон изменения /, обусловленный одним лишь нелинейным характером исходной системы (9.15), существенно превышает взятую выше величину 0,1, так что изменение температуры X при постоянном значении коэффициента f только из-за изменения температуры среды может составить один-два градуса.
Таким образом, простой канал прямой связи не может обеспечить хороших гомеостатических свойств системы. В реальных биологических системах прямой канал обычно является одним из элементов единой системы управления. Роль его состоит в том, чтобы уменьшить чувствительность переменных внутренней среды, хотя полной компенсации действия возмущений может и не быть. Окончательное устранение возмущений выполняется механизмами обратной связи, обеспечивающими, в частности, и адаптивные изменения в самом канале прямой связи.
9.3. Двойственный характер переменных состояния
в системе
Переменные состояния в компартментальных моделях открытых систем выполняют двоякую роль. Прежде всего эти переменные оказываются пассивными регуляторами, принимающими участие в процессах поддержания равенства темпов поступления и расходования вещества и энергии в биосистеме, т. е. в поддержании ее стационарного неравновесного состояния. С другой стороны, в сложных системах наличие множественности, дублирования регуляторных механизмов приводит к тому, что они оказывают стабилизирующее действие друг на друга. Включение каждого нового регулирующего механизма в систему (параллельного, как в разд. 7.6, или последовательного, как в разд. 7.7) приводит к тому, что нагрузка, приходящаяся на каждую переменную состояния, уменьшается. Таким образом, накопление регуляторных механизмов, направленных первоначально на регуляцию темпов поступления вещества, приводит вторично и к появлению новой регуляторной функции у системы — поддержанию постоянства внутренней среды.
