Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
В приложении получены апостериорные плотности вероятности сигнала на выходе энергетического детектора, которые затем используются для построения РХ и М-функций. В качестве наблюдаемой величины, на основании которой принимаются решения в энергетическом детекторе, используется величина г
G=$x*(t)dt. (VI.1)
о
Определим апостериорные плотности вероятности величины G для различных схем опытов.
Абсолютная схема опытов
x(t)san (t): Hi, x(t) = s (t) -f n (t): H2.
При первой гипотезе s = 0, и, следовательно, статистика G равна
т
Gn = § и2 (t) dt, (VI.2)
о
где и (t) — шум на выходе полосового фильтра детектора с шириной полосы 2w. Ввиду нелинейности квадратичного детектора для получения плотности вероятности / (g/h) удобно использовать дискретное представление шума и (t).
Интеграл (VI.2) в этом случае заменяется суммой
2тТ
с„=2и? At, (Vi.3)
i=l
где At = 1/2w; 2wT = Т/At — число точек, в которых берутся
значения шума и (ti) = щ.
Предполагается, что п (t) — белый гауссовский шум в полосе
частот 2w с корреляционной функцией
7 / \ at sin 2яшт /тту /\
kW = N°w^r-- (VI-4)
Отсюда следует, что значения шума в точках tt — i-At некоррелированы и вследствие нормальности и (t) независимы.
Удобно перейти к нормированной статистике
2 W'T
G
~Ki
где Gn = N0w — дисперсия случайной функции и (t) на выходе полосового фильтра, если на входе имеется шум со спектральной плотностью NJ2.
Нормированная величина GJAtan имеет плотность вероятностей %2 с 2wT степенями свободы (Приложение I). Случайную величину в левой части (VI.5) можно также записать в виде 2G_
у ___ п ____ п
— ДtNaw 7V„ •
Следовательно, величина 2Gn/N0 также имеет ха"Распределение со степенями свободы.
Теперь следует определить характеристики случайной величины Y.
и, следовательно, есть удвоенное число степеней свободы величины Y.
Отсюда следует, что дисперсия Dn величины Gn определяется выражением
На основании (VI.6) можно перейти к условному математическому ожиданию статистики Gn, которое запишется в виде
Определим теперь характеристики статистики G, когда на входе детектора имеется сигнал
В этом случае на выходе детектора наблюдается величина
Далее, так же как раньше, следует перейти к нормированной величине
Величина Y, равна сумме квадратов независимых нормальных величин с математическими ожиданиями st/an и единичными дисперсиями.
Распределением величины F, является нецентрированное (^-распределение с 2wT степенями свободы (Приложение I).
(VI.6)
и, следовательно, равно числу степеней свободы 2wT. Условная дисперсия величины Y равна
П„ = NlwT.
(VI.7)
тп = М (Gn) = N0wT.
(VI.8)
x(t) = s(t) -(- n(t).
T
Gs= $ [s(t)+ "(*)]**¦
(VI-9)
о
Заменяя интеграл суммой, получим
2 wT
Gs — 2 (si 4" ui)2
(VI.10)
(VI.11)
где On — X0w.
Параметром распределения является
2шГ
п г=1
Математическое ожидание нецентрированного (%')2-распределения равно
М(Г,) = 2wT + %. (VI.13)
Так как Л можно представить в виде
= = <VL14>
г=1
ТО
М(П) = м(^-) = 2»2’ + ^
И
ms = M(Gs) = ^(2wT + %). (VI.15)
Дисперсию величины Ys можно вычислить на основании (VI. 11) и (VI.14):
/ 2\ 8Я
D(Tvf) = tar + Tvf
И
D. = D(G<) = ^S(w7’ + X). (VI.16)
Дифференциальная схема опытов
На основании (VI.15) и (VI.16) можно определить математическое ожидание и дисперсию для дифференциальной схемы опытов. В этом случае нужно определить условные математические ожидания и дисперсию статистики на выходе детектора, когда на его выходе имеются сигналы
x(t) = c(t) -f- n(t)
или
x(t) = c(t) + s(t) + n(t), где с (t) — основной сигнал.
При вычислении математического ожидания и дисперсии для сигнала
x(t) = с (t) -)- п (t) в (VI. 15) и (VI. 16) просто следует положить с = s.
Откуда для математического ожидания величины Gn можно получить
При вычислении математического ожидания и дисперсии для сиг-
также можно воспользоваться (VI.15) и (VI.16), где сигнал s нужно заменить сигналом с + s. Тогда можно получить
Когда число степеней свободы величины Ys достаточно велико, Х2-распределение аппроксимируется нормальным (Приложение I).
Параметры апостериорных нормальных плотностей определяются согласно (VI.6), (VI.7), (VI.15) — (VI.17). Имея апостериорные плотности вероятностей статистики G, можно построить РХ и М-функции для энергетического детектора.
