Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
Случайный процесс описывается функциями плотности вероятности (функциями распределения).
Одномерная функция распределения случайного процесса определяется равенством
Одномерная функция распределения случайного процесса есть закон распределения случайной величины X (t), зависящей от параметра t, и, следовательно, функцией х и t.
Двумерная функция распределения случайного процесса определяется условием
и является законом распределения двумерного вектора (Х1; Х2),
n-мерная функция распределения случайного процесса есть функция распределения и-мерного вектора X (Х19 Х2, . . ., Х„),
и зависит от моментов времени tu t2, . . ., tn.
Для полной характеристики случайного процесса функции распределения F должны быть известны для любого п. Наряду с функциями распределения можно пользоваться функциями
плотности вероятности. /г-мерная плотность вероятности
/ (хъ х2, . . ., хп\ tr, t2, . . tn) = f (x, t) зависит от величин
(x-y, x2, . . ., xn) и моментов времени flf t2, . . tn.
Функции распределения и функции плотности вероятности являются равноценными характеристиками случайного процесса, так как связаны между собой соотношением
Часто функции распределения случайного процесса не известны. Тогда для его частичного описания можно использовать два первых момента — математическое ожидание и корреляционную функцию. Математическое ожидание и корреляционная функция процесса определяются следующими равенствами:
М [X (*)] - т (0,
k (*i. h) = М [{X (к) — т (*i)}X {X (t2) — m(t2)}\. (1.66)
Математическое ожидание зависит от времени. Корреляционная функция процесса зависит от двух моментов времени ?х, t2 и является корреляционным моментом связи величин X (fj и X (<а).
F (х, t) = Р \Х (t) < х].
(1.62)
F (хух2, tit2) = Р
(1.63)
где Хг = X (tj), Х2 = X (t2).
где Xi = X (?х), Х2 = X (t2), . . ., Хп = X (tn). Она имеет вид
(1.64)
(1.65)
Как следует из определения (1.66), математическое ожидание имеет обычные свойства математического ожидания случайной величины. Корреляционная функция процесса в соответствии с (1.66) обладает следующими свойствами:
к (ilt t2) = к (ig, tj), к (t, t) = D (0, (1.67)
I * («1, h) I < /D (O D (t2), где D (t) — дисперсия процесса, зависящая от времени.
Дальше мы ограничимся рассмотрением стационарных процессов. Стационарным (в широком смысле) называется случайный процесс, удовлетворяющий следующим условиям:
т (t) = т — const, к (flt U) = к (^ — f2) = & (т)- (1.68)
Согласно (1.68) математическое ожидание стационарного процесса не зависит то времени, а его корреляционная функция зависит только от разности т = tx — t2, а не от абсолютных моментов времени tx, t2.
Одно из основных положений теории стационарных случайных процессов (теорема Бохнера) касается представления корреляционной функции вида
ОО
к(х) = ^ eiaxdF(со), (1.69)
—СО
где F (ю) — интегральный спектр процесса.
Спектр F («) обладает свойствами функции распределения. Если F («) — дифференцируемая функция, то
F' (о») = / (ю). (1.70)
Функция / (ю) называется спектральной плотностью процесса.
В соответствии с (1.69) корреляционная функция и спектральная плотность связаны преобразованием Фурье
ОО оо
к(т) = ^ eim7 (ю) &о, / (со) = ^ e~iank(x)dx. (1-71)
—во —во
Из (1.69) следует существование (в среднем квадратичном) стохастического интеграла
оо
x(t)= ^ elaidZ{(o), (1.72)
—ОО
который дает гармоническое разложение процесса X (t) на гармоники
dZ (со) еш (1.73)
со случайными амплитудами.
Как это следует из (1.69), Z (а>) является случайным процессом с некоррелированными (ортогональными) приращениями. Так что приращения AZ (а>) и A'Z (а>), относящиеся к непересекаю-щимся интервалам, некоррелированы. Интегральный спектр процесса F (ю) определяется соотношением
dF (а-) = М | dZ (ш) |2. (1.74)
Из первой формулы (1.71) следует
ОО
D = fc(0) = -1- ^ /И*»- (I-75)
•—оо
В сочетании с (1.73) и (1.74) это означает, что в случае непрерывной спектральной плотности дисперсия процесса равна сумме (интеграл 1.75) дисперсий отдельных колебаний вида (1.73). При этом дисперсия отдельного колебания бесконечна мала.
Иногда используют следующую физическую интерпретацию этого факта.
Если X (t) — ток, текущий по единичному сопротивлению, то дисперсия D есть средняя мощность, рассеиваемая на сопротивлении. Тогда согласно (1.75) средняя мощность тока, рассеиваемая на сопротивлении, равна сумме средних мощностей отдельных гармоник (1.73).
