Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
При этом легко показать, что собственные числа кк интегрального уравнения равны дисперсиям величин vk
кк = D (щ)-
Отношение правдоподобия тогда примет вид
Мт)-ехрД 2’%4 ). (8.27а)
к=1
где
т т
s* = 5 Tv (t)s (0 dt’ v* = 5 Ф* (О ж (0 (8.276)
о 0
Отношение правдоподобия % (v) только внешне напоминает ранее вычисленное отношение правдоподобия к (х) [см. (8.4)]: здесь значения sk, vk отличны от sh, vk в (8.4) и в знаменателе вместо постоянной величины D стоят переменные kh.
Кроме того, не следует забывать, что уравнение (8.27а) имеет место для любых гауссовских процессов п (t). В частности, для таких процессов значения хк = х (tk) могут быть зависимыми случайными величинами с неравными дисперсиями.
Сравнение A-(v) с порогом Х0 дает следующее решающее правило:
Следовательно, в га-мерном пространстве с координатами v2, . . ., vn разделяющей поверхностью является также гиперплоскость, определяемая уравнением
Этот точный результат отличен от результата, полученного в (8.7), в котором гиперплоскость строится в пространстве значений хи . . ., х„ измеряемой величины.
Так как величины vk в уравнении (8.276) линейно связаны с х (?), то переход в (8.276) от интегралов к суммам показывает, что разделяющей гиперплоскости в пространстве наблюдений Х]_, х2, . . ., хп соответствует гиперплоскость в пространстве vlt v2, . . ., vn и обратно.
Таким образом, утверждение приближенной теории о том, что разделяющей поверхностью является гиперплоскость, верно для вырожденных процессов п (t) и приближенно в более общем случае.
Для бесконечной суммы необходимо использовать статистику
В этом случае разделяющей поверхностью является гиперплоскость в бесконечномерном евклидовом пространстве.
Статистика G может быть представлена также в виде т
где функция q (t) есть решение интегрального уравнения первого рода
В зтом легко убедиться, раскладывая в обобщенный ряд Фурье функции q (t), s (t) и вычисляя интеграл, определяющий G.
Статистика G, как линейная комбинация нормальных величин, распределена нормально. Поэтому функции плотности (g)
(8.28)
П
оо
О
т
О
и р2 (g) имеют вид _____________________i_
Pi (g) = (2™т2) 2 exp ,
Рг (g) = (2лет4) 2 exp (- ¦ ) ,
где параметр or2 равен дисперсии
ff2 = II ? (*i) 9 (^a) M [и (ix) n (t2)] или ff2 = II q (h) q ih) k (h — k) dttdt2 = J q (t) s (t) dt.
Для вероятностей обнаружения и ложной тревоги на основании (8.9), (8.10) имеют место выражения
р (S/s) = erfc (х — or), р (S/n) = erfc х, где х = go/cr.
Заканчивая наше фрагментарное рассмотрение точной теории, можно сделать следующие выводы:
1. Приближенная теория для случая «белого» гауссовского шума приводит к качественно верным заключениям о разделяющей поверхности в пространстве х17 х2, . . ., хп. Теория очень проста и может быть получена путем элементарных рассуждений.
2. Точная теория подтверждает выводы приближенной теории о разделяющей поверхности в пространстве хг, х2, . . ., хп. Она позволяет распространить полученные результаты на произвольные случайные функции п (t) второго порядка (зависимые неравноточные измерения). Для этого случая разделяющей поверхностью также является гиперплоскость, но уже в пространстве параметров у2, . . ., vn (см. (8.26)).
§ 5. Детектор огибающей
Полезно теперь применить общую теорию для выделения из шума гармонического сигнала, определенного с точностью до фазы. Сигнал s (t) в этом случае имеет вид
s (t) = A cos (2лftt — 0), (8.29)
где А — амплитуда колебания; /; — частота; 0 — фаза.
Фазу можно считать постоянной. Если значение фазы неизвестно, то это равносильно предположению о том, что фаза является случайной величиной.
Особенностью восприятия звукового сигнала вида (8.29) является нечувствительность слуха к фазе 0. Для того чтобы это понять, полезно вначале рассмотреть восприятие звукового
сигнала общего вида
s (t) = А (t) cos
где А (t) — амплитуда, изменяющаяся со временем (модулирующая функция). Относительно A (t) предполагается, что ее изменение на периоде Т1 — 1//г незначительно.
В простейшем случае модулирующая функция может быть Гармонической
А (t) = 2A cos 2лft.
Такая амплитуда получается при сложении двух гармонических колебаний различных частот. Действительно,
у (t) = A cos 2л/хг + A cos 2л/2? = 2A cos 2nft cos 2лftt,
где принято fi = (/х + /г)/2 и / = (Д — /2)/2; /г — несущая частота (обычно /г >/); /—модулирующая частота. Модулированное колебание происходит со средней несущей частотой /г. При этом происходит медленное колебание амплитуды с частотой / /г.
Если у (t) — звуковой сигнал, создаваемый двумя камертонами с частотами Д и /2, и f1 и /2 отличаются более чем на 6%, то сигналы с частотами /1; /2 воспринимаются как разные колебания, т. е. они будут слышны как две разные ноты, мало отличающиеся по высоте. Так, например, если /х = 1,25/2, то две ноты слышны с интервалом «большая терция». Если /х = 1,06/2, то /х воспринимается на полтона выше, чем /2. Однако если частоты /х и /2 различаются менее чем на 6%, то сигналы воспринимаются как одна нота, а не как «аккорд». Так как амплитуда А (t) колеблется с частотой /, то громкость звука меняется и дважды за период Т — 1// пропадает совсем. Такое колебание у (t), являющееся суммой двух колебаний с близкими частотами, называется биением. В промежутках между паузами ухо воспринимает колебание среднего тона частотой /г.
