Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
а
Рис. 6.5. Автокорреляционная функция сигнала на выходе а — полосового фильтра; б — идеального фильтра нижних частот.
Хотя при анализе сигналов и свойств систем можно придти к рассмотрению множества других видов автокорреляционных функций, те немногие, которые обсуждены в этом разделе, встречаются наиболее часто. Читателю следует обратиться к материалу о свойствах автокорреляционных функций, изложенному в разд. 6.3, и самостоятельно убедиться, что данные корреляционные функции обладают указанными свойствами.
Упражнение 6.5.1. а) Дифференцируемы ли случайные процессы, автокорреляционные функции которых описываются выражениями (6.20) и (6.21)?
б) Правильно или ошибочно следующее утверждение: «Функция, являющаяся произведением функции, дифференцируемой в точке начала отсчета времени, и функции, недифференцируемой в той же точке, всегда дифференцируема.»? Проверьте сделанное заключение на автокорреляционной функции, представленной уравнением (6 20).
Ответы. Да, да, правильно.
Упражнение 6.5.2. Какие из следующих функций ог х не могут являться математическими моделями автокорреляционных функций? Объясните, почему.
а) ехр (—т2), б) | т | ехр (—] т |),
в) 10 ехр [— (т+ 2)], г) (sin2 ят)/(ят)2,
д) (т2 + 4)/(т2 + 8).
Ответы. Функции (б), (в), (д) не являются математическими моделями.
6.6. Взаимные корреляционные функции
Можно рассматривать корреляцию между двумя случайными величинами, принадлежащими к различным случайным процессам. Такая ситуация возникает, когда на систему действует более
одного случайного сигнала или если требуется сравнить случайно изменяющиеся напряжения или токи, действующие в различных точках системы, Если два случайных процесса X (() и Y (t) совместно стационарны в широком смысле, то для случайных величин
Хг = Х (tt), Г2 = Y (U + т) можно определить взаимную корреляционную функцию
со со
/?хг(т) = ?[*jr2] = j dx1 J х^(хъ y2)dy2. (6.22)
— 00 —Оо
Здесь важен порядок написания индексов: второй из них относится к случайной величине, измеренной в момент (tx + т) 4).
Существует еще один вид взаимной корреляционной функции, которую можно определить для тех же двух моментов времени.
Пусть Yt = Y (^), Х2 = X (tt + т). Тогда по определению
со оэ
Ryx (т) = Е [УгХг} = J dyY J y,x,,f (г/ь х2) dx,. (6.23)
—00 —со
Поскольку оба случайных процесса X (t) и Y (t) являются совместно стационарными, приведенные взаимные корреляционные функции зависят только от временного интервала т. Для стационарных случайных процессов, не обладающих свойством совместной стационарности, указанная зависимость не наблюдается.
|Пусть имеются два стационарных случайных процесса, которые не являются совместно стационарными. В таком случае взаимная корреляционная функция будет зависеть как от начала отсчета времени tlt так и от временного интервала т.
Временные взаимные корреляционные функции для пары реализаций х (t) и у (t) случайных процессов X (t) и Y (t) могут быть определены так же, как и выше, а именно
т
Я*„(т) = Нт(1/2Л \ x(t)y(t-\-x)dt, (6.24)
Т -~*-СО J'
Т
&ух (Т) = Нт (1/271) \ y(t)x(t-\-%)dt. (6.25)
Т —>СО у
Если случайные процессы являются совместно эргодическими, то выражения (6.24) и (6.25) дают одинаковые значения для каж-
4) Это спорное утверждение, которое различные авторы интерпретируют по-разному. В каждом конкретном случае оно должно быть проверено специально.
дой пары реализаций. Таким образом, для эргодических процессов имеем
(т) = Rxy (т)> (6.26)
^х(т) = /?гх(т). (6.27)
Вообще же, взаимные корреляционные функции представляют собой такую же физическую реальность, как и автокорреляционные функции, и являются мерой зависимости друг от друга двух
случайных процессов. Тем не менее при дальнейшем изучении основ системного анализа мы увидим, что взаимная корреляционная функция, связывающая сигналы на входе и выходе системы, будет иметь вполне конкретный и важный физический смысл.
Упражнение 6.6.1. Два совместно стационарных случайных процесса имеют
вид
X (t) = 5 cos (10/ + 0), Y (/) = 20 sin (10/ + 0),
где 0 — случайная величина, равномерно распределенная в интервале от 0 до 2я. Найдите взаимную корреляционную функцию для этих процессов. Ответ: 50 sin Ют.
Упражнение 6.6.2. Реализации двух случайных процессов X (/) и У (t) имеют вид
х (t) — 5 cos 10/, у (/) — 20 sin 10/.
