Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
J fz (z)dz= 1 — Ф (zc) = 0,99,
откуда zc = —2,33. Поскольку наблюдаемое значение z меньше zc, гипотезу нужно отвергнуть.
Часто при проверке статистической гипотезы трудно понять смысл полученного решения. В рассмотренном примере он состоит в том, что с вероятностью 0,99 исследуемая выборка не принадлежит к генеральной совокупности, генеральное среднее которой равно 300 В. Это вполне понятно, трудность, однако, заключается в том, что если бы мы взяли q = 99,5 %, то должны были бы принять эту гипотезу, поскольку критическое значение zc для такого доверительного уровня равно —2,575 и меньше наблюдаемого значения г. Таким образом, при больших q увеличивается вероя-ность того, что любая выборка приведет к принятию гипотезы. На первый взгляд это противоречит логике, однако ясно, в чем здесь причина: чем больше q, тем шире доверительный интервал, поскольку в него должен укладываться больший участок плотности распределения вероятностей. И обратно, чем меньше q, тем меньше вероятность того, что любая выборка приведет к принятию статистической гипотезы, и, таким образом, это более строгое требование. Иногда вместо доверительного уровня пользуются уровнем значимости (100 — q) %, так как при этом удается обойти кажущееся противоречие. Тогда доверительному уровню 99 % соответствует уровень значимости 1 %, а доверительному уровню 99,5 % —уровень значимости 0,5 %. Таким образом, больший уровень значимости соответствует более строгой проверке гипотезы.
Вернемся к примеру с конденсаторами, однако теперь рассмотрим выборку малого объема. Пусть для выборки из 9 конденсаторов выборочное среднее пробивное напряжение равно 290 В, а несмещенное выборочное среднее квадратическое отклонение равно 40 В. Обратите внимание на то, что эти значения совпадают с приведенными для выборки большого объема. Однако.
поскольку теперь п < 30, значение t, принимаемое стьюдентовской случайной величиной Т, равно
t = (X- X)/S/(n'/2) = (290 - 300)/(40/91/2) = — 0,75.
Для распределения Стьюдента FT (t) при v = п — 1 = 8 и <7 = = 99 % из табл. 4.2 найдем критическое значение tc = —-2,896. Поскольку теперь t > tc, мы должны принять гипотезу о том, что генеральное среднее пробивное напряжение конденсаторов превышает 300 В.
Обратите внимание на то, что для выборки меньшего объема t больше, а следовательно, увеличивается вероятность того, что оно превысит tc. Кроме того, для выборок малого объема следует использовать распределение Стьюдента, которое имеет более протяженный хвост, чем гауссовское распределение, и tc < zc. Таким образом, при совместном действии обоих факторов достоверность тестов для выборок малого объема уменьшается.
Приведем пример двухстороннего теста. Пусть указывается, что номинальное напряжение стабилизации стабилитронов некоторого типа равно 10 В. Поскольку стабилитрон используется как регулятор, отклонения напряжения стабилизации от номинального как в большую, так и в меньшую стороны одинаково нежелательны. Итак, предположим, что генеральное среднее напряжение стабилизации равно 10 В, а затем проверим эту статистическую гипотезу и решим (с учетом того, что отклонения напряжения стабилизации от 10 В в обе стороны одинаково важны), справедлива ли она.
Пусть для выборки объемом 100 стабилитронов выборочное среднее равно 10,3 В и несмещенное выборочное среднее квадратическое отклонение равно 1,2 В. Можно ли с доверительным уровнем q = 95 % считать, что гипотеза справедлива? Поскольку объем выборки больше 30, можно ввести гауссовскую случайную величину Z, принимающую в этом примере значение z = (10,3 —
— 10)/(1,2/1001/2) = 2,5. По табл. 4.1 находим, что для q = 95 %, zc = ±1,96. Таким образом, чтобы гипотеза была принята (т. е. была состоятельной) значения z должны находиться в интервале —1,96 < z < 1,96. Поскольку z = 2,5 находится вне этого интервала, гипотеза отвергается (т. е. признается несостоятельной) и приведенные данные о среднем напряжении стабилизации нельзя считать верными, так как с вероятностью 0,95 испытуемая выборка не может быть сформирована из генеральной совокупности с генеральным средним 10 В.
Рассмотрим теперь выборку малого объема. Пусть снова проверяются 9 стабилитронов и установлено, что выборочное среднее и несмещенное выборочное среднее квадратическое отклонение
по-прежнему соответственно равны 10,3 и 1,2 В. Стьюдентовская случайная величина Т принимает значение
t = (X- X)l{Slnl/2) = (10,3 - 10)/(l ,2/91/2) = 0,75.
В этом примере у = 8, и критические значения 4 могут быть взяты из табл. 4.2. Поскольку в этой таблице приведены значения для распределения Стьюдента, а нам нужно найти границы расположенного симметрично относительно нуля интервала, соответствующего 95 % всей площади под кривой плотности распределения вероятностей, выше 4 будет лежать 2,5 % площади, а ниже 4 — также 2,5 % площади. Таким образом, из табл. 4.2 нужно выбрать FT (4) = 0,975. Это легко понять, если записать соотношение Р [—4 < Т < tc] = FT (4) — FT (—4) = 2FT (tc) — 1 = = 0,95, откуда FT (Q = 1,95/2 — 0,975. По табл. 4.2 находим, что 4 = 2,306. Чтобы принять гипотезу, наблюдаемое значение t должно находиться в интервале —2,306 < t << 2,306. Поскольку t = 0,75 находится внутри его, гипотеза принимается и заявление о том, что среднее напряжение стабилизации равно 10 В, считают верным. И вновь мы видим, что при большем объеме выборки проверка оказывается строже, чем при малом.
