Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
— ОО
оо
= (1/2я) j ехр {ju (1 — г)\ du/ju (1 — ju) —
—оо
7 ( 1 — е-г, 0 < г < 1,
(1/2я) j ехр {—/иг} du/ju (1 - ju)] = j ^ 1<2<00_
5 Дж. Купер
Интегрирование можно выполнять либо известными способами, применяемыми для нахождения первообразных путем преобразования Фурье, либо по таблицам.
Характеристические функции можно применять также для определения моментов случайной величины. Обратите внимание на то, что если d<р (u)/du существует, то
00
d(р (u)/du = j f (х) (jx) exp {jux\ dx.
—oo
При и — 0 производная становится равной
00
d(р (u)/du |„=0 = / j xf (х) dx =--- jX. (3.39)
— 00
В результате дальнейшего дифференцирования порядок производной в подынтегральном выражении повышается, так что п-й начальный момент случайной величины X равен
Хп = Е [Хп] = (1 //") [dncp (u)/dun]a=о- (3.40)
Если характеристическая функция случайной величины известна, то часто проще для определения моментов использовать ее, а не плотность вероятностей, поскольку при этом можно обойтись без интегрирования.
Из полученных результатов вытекает несколько легко понятных следствий. Например, формулу (3.38) можно распространить на ситуацию с произвольным числом случайных величин. Если Х1у Хг, ..., Хп — независимые случайные величины с характеристическими функциями соответственно <px (и), <р2 (и), ..., <р„ (и) и если Y = Хг + Х2 + ... + Хп, то характеристическая функция случайной величины Y
фу (и) = фх (и) ф2 (и) ... ф„ (и), а соответствующая ей плотность распределения вероятностей
оо
/V (у) = (1/2я) j ф! (и) фг (и) ... фп (и) ехр \—juy} du. (3.41)
— 00
Метод характеристических функций можно использовать и тогда, когда случайные величины нельзя считать статистически независимыми. В частности, если случайные величины X и Y описываются совместной плотностью распределения вероятностей / (х, у), то их совместная (двумерная) характеристическая функция есть
Фх, y (и, v) = E [ехр {/ (иХ + о^)}] =
оо оо
= f j f (X, У) ехр \j (ахvy)) dxdy. (3.42)
Соответствующее обратное преобразование записывается как
оо оо
/ (X, у) = (2я)-2 [ [ грху (и, V) охр {—/ (их -f V[/)} du dv. (3.43)
— со —оо
Совместную характеристическую функцию можно использовать для определения корреляции случайных величин. Так, например,
Е [XY] = XY = — [д2фху {и, v)/du dv]u==v=0. (3.44)
В общем случае
Е [XlYk] = XеYk = (1 //'+*) [d!+!UpXY (и, у)/ди1дюк],М}. (3.45)
Формулы (3.40), (3.43), (3.45) особенно широко используются для гауссовских случайных величин, поскольку для них всегда можно выполнить необходимые операции дифференцирования и интегрирования. Одно из полезных свойств гауссовского распределения случайных величин заключается в том, что для определения моментов и корреляции любого порядка этих величин достаточно знать их первый и второй моменты и коэффициент корреляции.
Упражнение 3.6.1. С помощью характеристической функции определите плотность распределения вероятностей случайной величины Z = X + Y, где X и Y — случайные величины из упр. 3.5 1.
Ответы должны совпасть с ответами к упр. 3.5.1.
Упражнение 3.6.2. Плотность распределения вероятностей случайной величины X имеет вид
f (х) = 2ехр(—4|дс|], —оо<дс<оо.
Определите с помощью характеристической функции первый и второй начальные моменты этой случайной величины.
Ответы. О, 1/8.
ЗАДАЧИ
3.1.1. Двумерная функция распределения вероятностей случайных величин X и Y равна
F (х, у) ==
0, х <0, ху, 0 ^ х s?!
1, х> 1,
у< 0,
0 < < 1 У > 1 •
а) Постройте график этой функции распределения.
б) Найдите двумерную плотность распределения вероятностей этих слу-ч.ишык величин и постройте ее график.
в) Определите, какова совместная вероятнэаь события {X 3/4, К > 1/4}.
3.1.2. Двумерная плотность распределения вероятностей случайных величин X и У равна
{kxy, 0<х<1,
/ (х, у) — {
(О, дс<0, дс>1, у<0, у>1.
а) Определите, при каком значении k эту функцию действительно можно считать плотностью распределения вероятностей.
б) Найдите двумерную плотность распределения вероятностей / (х, у).
в) Определите, какова совместная верошноси, события {А' ^ 1/2, У > 1/2}.
г) Найдите одномерную плотность распределения вероятностен (х).
3.1.3. а) Определите Е [XY] для случайных величин X и У из задачи
3.1.1.
б) Определите Е [ХУ] для случайных величин X и У из задачи 3.1.2.
