Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
2.8.3. При стрельбе из лазерной пушки по круглой мишени диаметром 2 м обнаружено, что при каждом десятом выстреле поражения мишени не произошло.
а) Определите для случаев попадания в мишень вероятность того, что разброс относительно центра мишени не превысит 0,3 м.
б) Определите для случаев промаха вероятность того, что величина промаха от ее края не превысит 0,5 м.
2.8.4. Обратитесь еще раз к пороговой системе обнаружения, описанной в задаче 2.5.4.
а) Определите условное математическое ожидание шума, превосходящего пороговый уровень, если сигнал отсутствует.
б) Выполните задание предыдущего пункта, считая, что присутствует полезный сигнал, параметры которого указаны в задаче 2.5.4.
2.9.1. Углы отклонения стрелки индикаторов для различных типов вольтметров переменного тока пропорциональны разным параметрам измеряемых сигналов. Однако чаще всего шкала вольтметра калибруется так, чтобы его показания соответствовали эффективному значению синусоидального сигнала. Для сигналов другой формы такого соответствия может и не быть. Предположим, что с помощью приборов, характеристики которых приведены ниже, измеряется случайное напряжение с нормальным распределением, нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением 10 В. Определите показания прибора, в котором угол отклонения стрелки пропорционален
а) математическому ожиданию выходного сигнала, полученного в результате двухполупериодного выпрямления входного сигнала; в данном случае, если на прибор поступает сигнал X (f), то угол отклонения стрелки пропорционален величине Е [| X (t) |],
б) математическому ожиданию огибающей сигнала; учтите, что огибающая сигнала с нормальным распределением характеризуется распределением Рэлея.
2.9.2. Распределение амплитуд отраженных импульсов РЛС подчиняется закону Рэлея. Допустим, что их математическое ожидание равно (я/2) V2- Однако для устранения воздействия на систему шума на экране индикатора отображаются только те импульсы, амплитуда R которых превышает некоторое пороговое значение г0.
а) Запишите плотность вероятностей для отображаемых иа экране импульсов, т. е. найдите f (г | R >г0). Нарисуйте график этой функции.
б) Найдите условное математическое ожидание для регистрируемых импульсов, приняв г0 — 0,5.
2.9.3. Амплитудная характеристика ограничителя имеет вид
I —В, Vbx<— А,
?/вых = | BU-bi/A, —Л<(/ВХ^Л,
I В, иъх>А.
а) Напишите общее выражение'для плотности распределения вероятностей выходного сигнала {/вых, считая входной сигнал нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием U и дисперсией Оу.
б) Определите математическое ожидание выходного сигнала, считая А = = В = 5, а входной сигнал — равномерно распределенным в интервале от —2 до + 8.
2.9.4. Допустим, что входной сигнал ограничителя, параметры которого приведены в задаче 2.9.36, описывается выражением
U (t) = 10 sin (cof + 0),
где 0 — случайная величина, равномерно распределенная на интервале от 0 до 2я.
Входной сигнал ограничителя в произвольные моменты времени подвергается дискретизации н преобразуется в последовательность отсчетов, образующих случайную величину {/*. Определите для нее:
а) плотность распределения вероятностей,
б) математическое ожидание,
в) дисперсию.
ЛИТЕРАТУРА
Читатели могут воспользоваться списком литературы, приведенным в гл. 1 и в первую очередь им будут полезны книги [2, 6, 8].
Глава 3
Совместные распределения случайных величин
3.1. Двумерная функция распределения вероятностей
До сих пор рассматривались ситуации, в которых фигурировала лишь одна случайная величина. В частности, она могла соответствовать значениям, принимаемым случайным напряжением или током в определенный момент времени. Однако ясно, что с помощью таких мгновенных значений нельзя описать поведение случайной функции времени, поскольку с ней, даже если она ограничена во времени, можно связать бесконечное множество случайных величин. Отсюда возникает вопрос: как распространить вероятностное описание, применявшееся для одной случайной величины, на реальную ситуацию, где фигурируют непрерывные функции времени? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим сначала ситуацию с двумя случайными величинами. Может показаться, что, выполнив такое рассмотрение, мы не решим поставленной задачи и не найдем способа, позволяющего совместно описывать любое число случайных величин. Однако ниже станет ясно, что способ совместного описания двух случайных величин пригоден и для описания ситуаций с любым их числом, если временной интервал, разделяющий две случайные величины, считать произвольным. Таким образом, зная, как описывать две случайные величины, разделенные произвольным промежутком времени, можно выполнить большинство видов обычного анализа систем. При анализе системы иногда нужно найти связь между ее входным и выходным сигналами для одного или двух моментов времени. При этом опять приходится совместно рассматривать две случайные величины.
