Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
ланга, а соответствующая ему плотность распределения вероятностей имеет вид
Фигурирующую в нем случайную величину называют эрланговой случайной величиной k-го порядка. Обратите внимание на то, что экспоненциальное распределение является просто частным случаем распределения Эрланга при k = 1. Математическое ожидание и дисперсия в общем случае будут иметь вид kx и k (т)2 соответственно. Обобщенное распределение Эрланга очень часто применяется при решении технических задач, связанных с определением надежности систем, времени ожидания доступа пользователей в какую-либо систему (например, в телефонную или телеграфную систему связи) и числа каналов, необходимых в системе связи для удовлетворения пользовательских запросов, поступающих в случайные моменты времени и характеризуемых произвольной длиной передаваемых сообщений.
С распределением Эрланга связано также гамма-распределение, получаемое из него простой заменой переменных. Пусть Р == 1/т и а — непрерывный параметр, равный k для целых значений. Тогда плотность гамма-распределения имеет вид
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины с этим распределением есть а/p и а/p2 соответственно.
Упражнение 2.7.2. Известно, что средняя продолжительность службы 100-Вт ламп накаливания составляет 750 ч. Две лампы из одной партии одновременно устанавливают в патроны. Считая сроки службы этих двух ламп независимыми случайными величинами, определите вероятность того, что:
а) обе лампы перегорят не проработав 750 ч,
б) одна из ламп перегорит до истечения 750 ч, а другая — после этого срока,
в) обе лампы проработают дольше 750 ч.
Ответы-. 0,1353, 0,2325 , 0,3996.
Дельта-распределение. Выше отмечалось, что если возможным событиям удается поставить в соответствие набор дискретных значений, то соответствующая плотность вероятностей будет представлять собой сумму дельта-функций. Этой концепции полезно дать математическое описание, а также продемонстрировать некоторые из ее приложений. Для примера рассмотрим двухуровневый сигнал, показанный на рис. 2.18. С ним часто можно встретиться в различных системах связи или управляющих си-
xk~l ехр (—¦т/т)/(т)* (k — 1)!, т > 0, k — 1, 2, 3.................
0,
(2.43)
(2.44)
стемах, поскольку он обладает наибольшей средней мощностью среди всех возможных сигналов с такой амплитудой. Более подробно этот сигнал будет рассматриваться при изучении случайных процессов, а здесь нас интересует отдельная случайная величина X = х (ti) в заданный момент времени. Она может принимать только два значения: хг или х2 с вероятностью рх или р2 соответственно, причем р2 = 1 — рг. Таким образом, плотность вероятностей для X есть
/ М = Pi6 (х ~ xi) + Р26 (х — х2). (2.45)
*1 x(tx)
*1
Рис. 2.18. Общий вид двухполярного сигнала.
Математическое ожидание такой случайной величины несложно найти:
+ СО
х ¦= _[ х [Р18 (х — Хх) + р26 (х ~ х2)\ dx = ргхг + р2х2.
— го
Средний квадрат аналогично запишется как
+ 00
X2 = J х2 [pi6 (х — х\) + р2б (х — х2)] dx = pix2 + р2х\.
— 00
Следовательно, дисперсия равна
о\ = X2 — (X)2 = рхх\ + р2х\ — (pixi + p2x2j2 = pip2 (xi — xi) .
Чтобы получить окончательную форму этого выражения, воспользовались тем, что р2 = 1 — рх.
Понятно, что подобные дельта-распределения существуют для случайных величин, принимающих любые значения из бесконечного дискретного набора. Так, если число возможных уровней равно п и они обозначаются как хг, х2, ..., хп, а соответствующие
им вероятности рг, р2.......рп, то плотность вероятностей для них
будет иметь вид
/ (х) = S Ргб (х - х,), (2.46)
1 = 1
П
где 2j Pt = 1 • Применяя для] нахождения математического ожи-дания тот же, что и ранее, способ, получим
П
X- Е PiXi, t=l
а для среднего квадрата имеем
X2 = S Plxj.
1=1
Отсюда определим дисперсию
п / п \ 2 п п
Ох = И Рг*? - S PiXi = V, ? ? ptpj (xt — Xjf.
(== i \i=i ) i=i /=i
Дельта-распределения для многоуровневых случайных величин часто используются при рассмотрении систем связи и управления и систем, в которых применяется аналого-цифровое преобразование. Обычно количество уровней выражается целой степенью числа 2, так что совокупности уровней удобно поставить в соответствие набор двоичных чисел.
Упражнение 2.7.3. Пусть случайная величина определяется как число вы павших решеток при подбрасывании четырех монет. Найдите:
а) математическое ожидание этой случайной величины,
