Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
9.5.4. На рисунке приведена структурная схема другого варианта фильтра, который может использоваться для обработки пакета импульсов, рассмотренного в задаче 9.5.3. Этот вариант представляет собой рекурсивный фильтр, который в отличие от согласованного фильтра не искажает форму импульса.
а) Определите наибольший коэффициент усиления А, при котором фильтр остается устойчивым.
б) Запишите соотношение между отношением сигнал/шум на выходе этого фильтра и коэффициентом усиления А.
в) Определите значение параметра Л, требуемое для достижения отношения сигнал/шум на выходе, равного 100.
9.5.5. На схеме показан детектор частиц, подсоединенный к усилителю к выходу которого подключен согласованный фильтр. Детектор частиц моделируется устройством, имеющим внутреннее сопротивление 1 МОм и формирующим на его выходе при обнаружении каждой частицы перепад напряжения s (/), описываемый временной функцией вида
s (t) = 10-4 ехр [—106 /] и (/),
где и (t) — единичная ступенчатая функция. Входная цепь усилителя может моделироваться схемой из параллельно включенных резистора сопротивлением
1 МОм и источника тока, ток которого представляет собой белый шум со спектральной плотностью 10-2в А2/Гц. Пусть выходное сопротивление усилителя пренебрежимо мало по сравнению со входным сопротивлением фильтра.
а) Определите импульсную характеристику фильтра, максимизирующего отношение сигнал/шум на его выходе в момент времени, когда выходное напряжение детектора частиц уменьшается до уровня, равного 0,01 его максимального значения.
б) Определите максимальное отношение сигнал/шум на выходе фильтра.
9.6.1. Наблюдается аддитивная смесь сигнала, представляющего собой стационарный случайный процесс со спектральной плотностью вида Sx(w) = = 16/(со2 4- 16), и белого шума, спектральная плотность которого равна
0,1 В2/Гц.
а) Определите комплексную частотную характеристику некаузального линейного фильтра, минимизирующего средний квадрат ошибки между входным сигналом и суммарным процессом на выходе фильтра.
б) Определите минимум среднего квадрата ошибки при использовании этого фильтра.
9.6.2. Повторите решение задачи 9.6.1 для каузального линейного фильтра.
9.6.3. Наблюдается аддитивная смесь сигнала X (() со спектральной плотностью вида Sx (со) — 4/(ш2 4- 4) и шума со спектральной плотностью Sat (со) =*¦ ав Ш2/({0а 4“ 4).
а) Определите комплексную частотную характеристику каузального линейного фильтра, минимизирующего средний квадрат ошибки между входным сигналом и суммарным выходным процессом.
б) Определите минимум среднего квадрата ошибки.
9.6.4. На рисунке приведена схема системы, предназначенной для измерения вибраций с помощью чувствительного датчика вибраций, имеющего внутреннее сопротивление 10 кОм. При наличии вибраций этот датчик формирует напряжение, представляющее собой стационарный случайный процесс со спектральной плотностью вида
Sx (со) = Ю"4 ш2/(ш4 -f 13м2 + 36), В2/Гц.
К выходу датчика вибраций подключен широкополосный усилитель, входная цепь которого может моделироваться схемой из параллельно включенных резистора сопротивлением 10 кОм и источника шумового тока, причем ток представляет собой белый шум со спектральной плотностью 10~8 А2/Гц. Коэффициент усиления усилителя по напряжению равен 10, а его выходное сопротивление пренебрежимо мало по сравнению со входным сопротивлением подключенного к его выходу каузального линейного фильтра.
а) Определив комплексную частотную характеристику выходного фильтра измерительной системы, минимизирующего средний квадрат ошибки между входным сигналом фильтра и суммарным процессом на его выходе. Выполните нормировку зтой частотной характеристики так, чтобы ее максимальное значение было равно единице.
б) Найдите отношение минимума среднего квадрата ошибки к среднему квадрату сигнала на входе фильтра.
ЛИТЕРАТУРА
Рекомендуется обратиться к литературе, приведенной в гл. I. Особый интерес при изучении материала данной главы представляют книги [3, 7].
Приложение
А. Математические таблицы
Тригонометрические тождества
sin (Л ± В) ¦=- sin A cos В ± cos A sin В cos (А ± В) = cos A cos В =F sin A sin В cos A cos В — [cos (А -\- В) -f- cos (А — В)]/2 sin A sin В = [cos (А — В) — cos (Л -f- В)]/2 sin A cos В = [sin (Л -j- В) sin (Л — В)]/2 sin Л -j- sin 5 =- 2 sin [(Л -f- 5)/2] cos [(Л — В)/2] sin Л — sin В — 2 sin [(Л — В)/2] cos [(Л -|- 5)/2] cos Л -f- cos В = 2 cos [(Л В)/2] cos [(Л — 5)/2]
cos Л — cos В = •—2 sin [(Л + В)j2] sin [(Л — В)/2] sin 2Л = 2 sin Л cos Л cos 2 Л 2 cos2 Л — 1 -- 1 — 2 sin2 Л = cos2 Л - - sin2 Л
sin Л/2 = [(1 — cos Л)/2]1/2 cos Л/2 = [(1 + cos Л)/2]1/2 sin2 Л = (1 — соэ2Л)/2 cos2 Л — (1 + cos 2 Л)/2 sin х = (е!х — e~l*)/2j cos х — (eix -|- e~-i')/2 el* — cos x -f- j sin x A cos (со/ -f Ф1) + В cos {at -f ф2) = С cos (<at + фз)>
