Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим событие А = {1, 3} = {1} (J {3}, принадлежащее тому же вероятностному пространству. Из (1.11) имеем
Р (Л) = Р (1) + Р (3) = 1/6 + 1/6 = 1/3.
Полученное значение можно трактовать как вероятность выпадения чисел либо 1, либо 3. Несколько более сложная ситуация возникает, когда А = {1, 3}, В = {3, 5} и нужно найти Р (Л U U В). Поскольку события Л и В не являются несовместными, можно использовать выражение (1.16). Выше было показано, что Р (Л) = Р (В) = 1/3. Однако, так как А {\ В = {3}, т. е. является элементарным событием, его вероятность Р (Л f) В) =
— 1/6. Следовательно, из (1.16) имеем
Р(Л и в) = Р(Л) + Р(?) - Р(Л П В)= 1/3 + 1/3 — 1/6= 1/2.
Другой возможный подход может быть использован, если отметить, что A U В = {1, 3, 5} состоит из трех несовместных элементарных событий. Дважды воспользовавшись (1.11), сразу получим
Р(Л1|?) = Р{Ц + Р{3} + Р{5} = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2.
Обратите внимание, что полученное значение можно считать вероятностью того, что либо произойдет событие А или В, либо оба они вместе.
Упражнение 1.6.1. Додекаэдр представляет собой геометрическое тело с 12 гранями; часто на грани кости такой формы наносят обозначения месяцев года. Будем считать исходом опыта с такой костью выпадение месяца на граии, обращенной вверх. Кроме того, пусть А ~ {Январь}, В — {Любой месяц продолжительностью 30 дней), а С = {Любой месяц продолжительностью 31 день}.
Найдите: а) Р (Л (J С); б) Р (А Л Q\ в) Р (В U С); г) Р (А Л В).
Ответы-. 11/12, 0, 1/12, 7/12.
Упражнение 1.6.2. Нарисуйте диаграмму Эйлера—Вениа с тремя подмно» жествами, ие являющимися взанмио-исключающими. С помощью этой диаграммы найдите выражение для Р (A (J В L) С).
Ответ: Р (Л) + Р (В) + Р (С) — Р (А Л В) — Р (Л П Q — Р (В П Q + + Р (А Л В П Q-
1.7. Условная вероятность
Понятие условной вероятности было введено в разд. 1.4 исходя из представления об относительной частоте одного события, если оговорено, что другое уже произошло. В рамках аксиома-тическог® подхода такая вероятность — это некоторым образом определенная величина. Если полагать вероятность события В отличной от нуля, то условная вероятность события Л при условии, что событие В произошло, определяется как
Р(А\В) = Р(А()В)/Р(В), Р (В) > 0, (1.17)
где Р (Л П В) — вероятность события А [\ В.
Выше (разд. 1.4) выражение, стоящее в числителе (1.17), записывалось в виде Р (А, В) и называлось совместной вероятностью событий А и В. Такая интерпретация по-прежнему верна, если А и В — элементарные события, но в более общем случае правильное представление должно опираться на определение пересечения множеств, А [\ В. Очевидно, если А и В — непере-секающиеся множества, то множество А [\ В — пустое и Р (А П В) = 0. С другой стороны, если A cz В, то А [\ В = А и Р (Л |В) = Р (Л)/Р (В) > Р (Л). Наконец, если Вс Л, то Л П В = В и Р (Л | В) = Р (В)/Р (В) — 1. Однако в общем случае, если Л не принадлежит В и В не принадлежит Л, о величинах Р (А) и Р (Л | В) нельзя ничего сказать.
До сих пор еще не было показано, что условные вероятности удовлетворяют принятым аксиомам (1.9)—(1.11). В рамках относительно-частотного подхода это действительно вероятности, поскольку они могут быть определены как отношения числа благоприятных исходов к общему числу опытов, однако при аксиоматическом подходе условные вероятности — это величины, вводимые по определению; следовательно, необходимо отдельно проверить, соответствуют ли они требованиям, предъявляемым к понятию «вероятноеть».
Первая аксиома есть Р(Л|В)>-0, и из выражения (1Л7) очевидна ее справедливость, поскольку и числитель и знаменатель дроби последнего — положительные величины. Вторая аксиома имеет вид P(S|fi) = 1, и ее справедливость также очевидна, поскольку В cz S, а значит, SnB = BHP(Sf]B) = = Р (В). Для проверки справедливости последней, третьей аксиомы рассмотрим событие С, такое, что Л П С=0 (т. е. множества Л и С не пересекаются). В этом случае
Р ((Л U С) П ?)) = Р ((Л п ?) U (С П В)) = Р (Л П В) + Р (С П ?),
поскольку (Л f] В) и (С П В) также непересекающиеся множества и для них выполняется соотношение (1.11). Следовательно, из (1.17) получаем
Р ((Л U С) | В) = Р ((A U С) Л В)/Р (В) =
= IP (АП В)/Р (В)] + [Р (С Л В)/Р (В)] = Р (Л | В) + Р (С | В).
Таким образом доказано, что выполняются требования и третьей аксиомы и, следовательно, условные вероятности — это вероятности в полном смысле.
Прежде чем переходить к дальнейшему рассмотрению условной вероятности, полезно проанализировать случай, когда события не являются элементарными. Пусть опыт заключается в бросании одной кости, а его исходы — в выпадении целых чисел 1, 2, 3, ..., 6. Определим событие Л = {1, 2}, т. е. выпадение
цифры 1 или цифры 2. Из предыдущего рассмотрения известно, что Р (А) = 1/6 + 1/6 = 1/3. Определим В как событие, заключающееся в выпадении четного очка, т. е. В = {2, 4, 6}, а Р (В) = = 1/2, поскольку оно состоит из трех элементарных событий. Далее, А [\ В = {2}, откуда Р (А Г) В) = 1/6. Условную вероятность, Р (Л | В), теперь можно записать как
