Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
А*
lim =
п -*•»
и наша теорема доказана индукцией.
§ 16. Предельная теорема
Только что доказанная 'теорема устанавливает, что в рассматриваемых нами условиях функции Vk(i) для суммарного потока стремятся при я—юо к соответствующим функциям простейшего потока с параметром А. Эго, однако, еще не означает, что наш суммарный поток сам приближается к этому простейшему потоку. Дело в том, что, как мы видели в § 6, совокупность функций Vk(t) (А —О, 1, 2, ...) однозначно определяет собой данный поток лишь при условии, что это есть поток без последействия; мы же пока не рассматривали вопроса о последействии в нашем суммарном потоке. Поэтому вопрос о приближении этого суммарного потока к простейшему потоку с параметром Л требует дальнейшего исследования.
Как показывает заключительная формула § 6, для простейшего потока с параметром Л определяющей является формула
Р{*(/,) = k„ 1 = в -"-Л^П (16Л)
где /, = ?, = 0, т — любое натуральное число, 0 <С**<С
. .< 0 < А, kt km и все 6, — неотрицатель-
ные целые, числа. Мы можем поэтому считать наш суммарный поток стремящимся к простейшему потоку с параметром А, если для этого суммарного потока вероятность, стоящая в левой части равенства (16.1), при любых да, tit /s, (1 / < от)
и при безгранично возрастающем п имеет своим пределом правую часть этого равенства. Это мы теперь и установим. Введем сначала более удобные для данной цели обозна*
т
чения. Положим — tl_1 = ui, kt — ki_x = l„ tm= 2И< =
/= 1
m
= и, km= 2 h = k и обозначим через «(«,) число вызовов, / =: 1
поступающих в промежутке «,=(/,_„ <,). Тогда, очевидно, равенство (16.1) равносильно равенству
т k
Р{л(и,.) = /<, К/<да} = е--л«Л*П • (16.2)
Ы1 4х
В § 15 мы рассматривали событие HtAk, состоящее в том, что за некоторый промежуток времени (0, и) происходит k вызовов и что все эти вызовы принадлежат различным слагающим потокам. Пусть отрезок (0, и) разбит на т частей и,, и,, ... , ит, длины которых мы будем обозначать теми же буквами, и пусть событие НхАк совершилось. В силу стационарности и взаимной независимости слагающих потоков для любого из поступивших в промежутке (0, и) k вызовов вероятность попасть в отрезок иД1 тогда равна
и,/в, каково бы ни было положение этого отрезка и каковы бы ни были моменты остальных поступивших вызовов. Обозначим через В событие
п (ut) = If (1</<.т);
тогда из только что сказанного следует, что
Но в § 15 мы доказали, что при п—юо
^(«»=р(Л)-«-а“?,
р («А) -*«-*¦ , р (HtAk)0.
т
Поэтому, учитывая, что в силу 2 U — b событие Ак есть
i = 1
следствие события В, мы находим при п—> оо Р{В)= Р (АкВ) = Р (Н^ьВ) + Р (HtAkB) =
= Р (HtAk) PHiM{B) + P (И,Ак) Р НшЛк (В) -
* 6!
^ ( ffi Vi ({fa V» (ffm V«
U J U; ’"W “
Так как правая часть этого соотношения совпадает с правой частью равенства (16.2), то наша предельная теорема доказана. Мы можем, таким образом, утверждать, что при рассматриваемых нами условиях суммарный поток действительно стремится к простейшему потоку с параметром Л.
Примечание к лемме на стр. 55. Формулировка леммы неявно предполагает, что при любом г для каждого и > 0 функция фг (и) положительна. В действительности же существуют потоки, у которых фг(») = 0 для всех и < аг. Это обстоятельство было отмечено в заметке Ю. Лукаш'вич «Замечание об сдной теореме Хинчина из теории случайных потоков», Colloquium matheniaticum 7:2, 285—287, I960. Для последующего изложения лемма Хинчина должна быть заменена на следующую: Для любого потока Р и любого г = 1, 2,...
Пт $r±iWU0, и -+Ог + О t|v(tt)
где ar = sup (и, (а) = 0].
Доказательство этой измененной леммы является буквальным повторением рассуждений А. Я. Хиичина.— Б. Г.
ЧАСТЬ И СИСТЕМЫ С ПОТЕРЯМИ
§ 17. Вводные замечания
После того как в первой части книги подробно изучены свойства потока поступающих вызовов, мы в последующих разделах должны рассмотреть основные вопросы, связанные с обслуживанием этого потока. Каждая станция (пункт, в который поступают вызовы) снабжена несколькими приборами, предназначенными для обслуживания вызовов; эти приборы могут быть весьма различного типа соответственно возлагаемым на них функциям; в частности, таким «прибором» может быть и человек (телефонистка, продавец в магазине, врач в амбулатории и т. п.); мы условимся ради единства терминологии во всех случаях называть обслуживающие приборы линиями. Процесс обслуживания протекает так, что всякий поступающий вызов занимает на некоторое время одну из имеющихся в момент его поступления свободных (незанятых) линий; пока линия занята каким-либо вызовом, она недоступна для вновь поступающих вызовов; период занятия какой-либо линии одним вызовом мы будем (опять-таки только ради единства терминологии) называть разговором.
