Метод молекулярных орбиталей - Фудзинага С.
Скачать (прямая ссылка):
Говорят, что элементы некоторого множества образуют группу (назовем ее G), если выполняются следующие четыре условия.
1. «Произведение» В А двух произвольных элементов А, В из G принадлежит G.
2. Для произвольной тройки элементов А, В, С из G имеет место ассоциативный закон относительно «умножения»: (СВ) А = С (ВА).
3. В группе G существует один и только один элемент Е, такой, что ЕА = АЕ = Е, где А — произвольный элемент из G. Элемент Е называют единицей группы G.
4. Для каждого элемента А из G в группе G найдется элемент В, удовлетворяющий равенствам В А = АВ = Е\ В называют элементом, обратным А, и обозначают А'1: А~х А = Л Л-1 = = Е.
«Умножение» элементов группы отличается от обычного «умножения»; это ясно, в частности, из таблицы умножения элементов труппы С3и (табл. 3.1), выражающей правило последовательного проведения операций симметрии, принадлежащих С3с. В группе, элементами которой являются нуль и все положительные и отрицательные целые числа, «умножение» элементов группы надо ¦определить как обычное сложение чисел. Далее, «произведение» В А не обязательно равно «произведению» АВ. Группу, для всех элементов которой А В = В А, называют коммутативной или абелевой. Группа Cs,j некоммутативна.
АВ Ф ВА (элементы А, В не коммутируют),
АВ = В А (элементы А, В коммутируют).
Н Н
С1 С1 Н
•С
С1
о
F
РИС. 3.5. Примеры молекул с симметрией
Cnv
С =0
Н -С= N
Число элементов в группе G называют ее порядком. О группе с конечным числом элементов (например, группе CSv, содержащей шесть элементов) говорят как о конечной группе, а группы, число элементов которых бесконечно велико, называют бесконечными.
Элементы группы CSll можно разбить на три подмножества: J.E}, {Сз, Сз}, {<?!, 02> °зЬ каждое из которых содержит по су-
н н
Da,
Cl
Cl
Cl
Cl
H H
H H
¦CU, N = N
РИС. 3.6. Примеры молекул с симме-0 =С=0 Н-С=С-Н трией Dnh.
/С\
Dsd Fe
РИС. 3.7. Примеры молекул с симметрией .Об-
ществу одинаковые операции симметрии. Этот факт выражают, говоря, что группа С3а содержит три класса
\Е\, {С^, СГ}, |0|, о2, с3|.
При изучении структуры группы всегда важно выяснить, из скольких классов она состоит. Далее, табл. 3.1 показывает, что совокупность трех элементов \Е, Сз, Сз} сама по себе образует группу (точечную группу С3), являющуюся подгруппой группы С3,.
На рис. 3.5—3.7 приведены примеры молекул с симметрией Cnv, Dnh, Dnd, при рассмотрении которых сразу же возникает мысль о группах С,*^, DaоЛ. Поскольку две последние группы характеризуют свойства симметрии простейших (двухатомных) молекул, возможно, именно с них следовало бы начинать обсуждение симметрии молекул и структуры точечных групп. Но с математической точки зрения группы C«,u, сложнее групп Сп1, Dnh, ибо они бесконечны (что подчеркнуто, в частности, индексом оо) и непрерывны: среди операций симметрии линейной молекулы содержатся также повороты на произвольные углы. Еще сложнее трехмерная непрерывная группа вращений, описывающая симметрию свободной молекулы в пространстве. Необходимые в рамках данной книги сведения о бесконечных непрерывных группах сообщены в следующей главе.
§ 3.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП ПРИ ПОМОЩИ МАТРИЦ
В развитии теории групп огромную роль сыграла идея Кар-тана о представлении элементов группы матрицами. Сначала освежим в памяти основные понятия матричного исчисления. Прямоугольной матрицей размером (tn X п) называется таблица т X п чисел А1} (i — 1, ..., m; / = 1, ..., п) — элементов матрицы (матричных элементов):
Если для трех матриц ввести сокращенные обозначения
то написанные ниже соотношения между символами матриц озна чают, что между матричными элементами выполнены соотноше ния, приведенные справа:
Согласно этим определениям, в соотношениях А = В, С = А + + В все три матрицы А, В, С должны иметь одинаковую размерность (mXn); в соотношении С = ВА связь между размерами матриц сложнее: если матрица А имеет размер (pxq), то матрица В должна быть вида (гхр), а получающаяся в результате «перемножения') матрица С имеет размер (rXq). Матрицы размера (тХт) называют квадратными. Если все недиагональные матричные элементы равны нулю (Л и = 0, i Ф /), то матрица диагонально. Диагональная матрица, у которой все диагональные матричные элементы равны единице (Аи = Ьи), называется единичной.
Кроме произведения (3.3.4) пользуются также прямым произведением матриц. Поясним определение прямого произведения •примером. Если
(3.3.1)
А = Мц], В = [ЯУ], С = [СУ|,
А = В Aij = Btj,
(3.3.2)
(3.3.3)
(3.3.4)
С — А -f- В Cij = Aij -f- Bij,
С = BA ->-0^ = J] BikAk].
