Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
7*
99§ 11. Рассеяние носителей заряда на фононах
в полупроводниках с произвольной изотропной зоной
При относительно высоких температурах доминирующим механизмом релаксации становится рассеяние носителей заряда на фононах. Это происходит по двум причинам: во-первых, согласно (10.31) время релаксации, определяемое рассеянием на ионах примеси, Ti ~ е3/2, поэтому с ростом температуры (энергии) T1 растет и этот механизм становится малоэффективным — энергичные носители заряда легко проходят мимо ионов ' примеси, не меняя своего направления движения! т. е. не рассеиваясь; во-вторых, с ростом температуры число фононов увеличивается, следовательно, растет вероятность «столкновения» носителей заряда с фононами.
Здесь вычислим время релаксации для рассеяния носителей заряда на фопопах различных типов: акустических, пьезоакусти-ческих, полярных и неполярных оптических фононах. Для этого следует^определить явный вид гамильтониана невозмущенной задачи Ж, входящего в (10.1), и возмущения Ж, описывающего взаимодействие электрона проводимости*) с различными типами фононов.
1. Электроны проводимости и фононный газ. В случае рассеяния носителей заряда на фононах рассматривается один электрон проводимости (или одна дырка в валентной зоне) в колеблющейся решетке. Если не учесть взаимодействие электрона про- < водимости с решеткой, то невозмущенный гамильтониан Ж в (10.1) состоит из гамильтониана электрона проводимости Жэл и гамильтониана решетки Жреш'
Ж = Жъя + <Э^Реш. (11.1)
Приведем явный вид каждого из этих гамильтонианов. В од-ноэлектронном приближении, согласно (1.4),
i^ = -(U72m0)V2 + F(r), • (11.2)
где т0 — масса свободного электрона, V (г) — периодический потенциал решетки (1.5). Состояния электрона проводимости определяются волновым вектором к и волновой функцией Блоха грк(г) (1.6), являющейся решением уравнения
ЖэяЦк(г) = екгМг). (И.З)
В приближении эффективной
массы эл — — (Ъг/2тп)^г электрон проводимости описывается плоской, волной (10.18), а его энергия eh = Ъгкг12щп- В рамках модели Кейна энергия электрона проводимости ?h определяется из уравнения (3.10), которое в двухзонном приближении дает выражение (3.19).
*) Все, что сказано для электронов проводимости, будет справедливо и для дырок, если заменить соответствующие параметры. 1
100Теперь рассмотрим колебания решетки, состоящей из N элементарных ячеек, каждая из которых содержит s атомов или ионов. Вектор смещения ?-го атома в п-й ячейке можно представить в виде [3]
Unft = yw 2 bj exp ^4 a^ + e*Af (<?) exP (-4 > (11 -4)
41
где &j (q) ~ exp [—ico3 (q)i] — комплексные нормальные координаты, которые гармонически зависят от времени, а„ — вектор решетки, соответствующий положению п-й ячейки, ew(q) — некоторый вектор, определяющий направление колебания ft-го атома, когда он участвует в образовании монохроматической волны с волновым вектором q, соответствующей 7-й ветви, т. е. с частотой COj (q). Этот вектор обладает свойством [5]
су (q) = e*j (— q) (11.4а)
и удовлетворяет условию ортонормированиости
і MfcCfcj (q) ehy (q) = MSj3V, (11.46)
ь=і
где M = 2 Mfc — масса элементарной ячейки.
A=1
Волновой йектор q меняется в пределах первой зоны Бриллюэна и принимает N значений. Спектр частоты состоит из 3s ветвей (7=1,2,3,..., 3s), т. е. число возможных частот равно 3sN — числу степеней свободы кристалла. Отметим, что некоторые из этих частот могут совпадать. Для различных кристаллов функции Coj (q) различны, и в общем случае они являются очень сложными. О'
Схематическая зависимость „ .„ „
/ \ ,г, Рис. 18. Схематическая зависимость
«•Л?; показана на рис. lo. (q) для акустических и оптиче-
оависимость со от q можно ских ветвей аналитически записать для
длинных волн, когда aq < 1, где а — постоянная решетки.
Из 3s ветвей 3 являются акустическими и при малых q, т. е. при aq< 1
<М?) = "«?.' J = 1, 2, 3, (11.5)
а остальные (3s —3) носят оптический характер: ajq -*¦ 0) == co0j И при aq < 1 обладают слабой дисперсией
юЛ<7)=0„;-<ад\ / = 4,.5, ..,, 3s, (11.6)
где' OCj — постоянная величина, Voj—скорость продольных и поперечных звуковых волн в кристалле. . . ~
, ' 101
(3s-3) ¦ —}- оптические ¦> ветви
3 акустические ветвиПолную энергию колеблющегося кристалла E в квадратичном по смещениям атомов «„^-приближении — квазиупругом приближении можно выразить через комплексные нормальные координаты следующим образом [3, 5]:
Е = T 2 {I h (ч, О Г + ю' (ч) I ^ (Ч, О I2}. 4 (11-7)
qj
Если учесть, что 6j(q, і) = —i«j(q)oj(q, і), то (11.7) примет вид
E^M2«J(q)IMq)l2. («-З)
-45
Удобнее всего энергию выразить через вещественные нормальные координаты
^qi = ь, (q) + bj (q) (11.9)
и сопряженные им импульсы
Pqj = MXqj = - IMaj (q) [bj (q) - b* (q)). (11.10)
Из последних двух равенств можно определить bj(q), выразив его через Xqj и Pqj:
Mq) =1(?+ Ж(ИЛ1)
Тогда (11.8) примет вид
q І 1 '
Видно, что в квазиупругом приближении полную энергию колебаний решетки можно представить как сумму энергий 3sN невзаимодействующих гармонических осцилляторов с частотами (а,-(q) и массой М. Для того чтобы перейти к квантовомеханиче-скому рассмотрению колебаний решетки, следует считать величины Xq) и Pqj операторами: Xqj-^Xqj и Pqj ->— i%(d/dXqj). Тогда E и имеет вид