Теплотехника - Чечеткин А.В.
Скачать (прямая ссылка):
'-5Г-«>-»*-? + »-ЪГ (2-31)
Найдем полную производную:
Рпх = | дЦ'* дх ] дуух ду [ д\ух дг ск дх дх дх ду дх дг дх'
или
Оых дкх дых дп'х д\\>х
— = -—— + —— ых + -^—Ыу + -^—ю,. (2.33)
ск дх дх ду у дг
Для трехмерного движения равнодействующая сил вязкого трения определяется выражением:
»{-сЪ?-+ ~дУ + -8^-) = ^<2'34>
где У2и'Д! — оператор Лапласа.
В развернутом виде дифференциальное уравнение движения в проекции на ось х получает вид
дых д\мх дх\?х д\\>х _ . 1 др __,
5т (Эх <Эу у дг р сЭх
где V = р./р — кинематическая вязкость, м2/с.
Аналогично могут быть получены уравнения проекций равнодействующих сил на оси у и г.
В векторной форме дифференциальное уравнение движения имеет вид
?>п> п 1 _
—— = 0Х6 А*--V» + V У2Й>.
ск р
Система уравнений (2.22) и (2.35) не замкнута, так как содержит три неизвестных г, и» и р. Уравнением, необходимым для замыкания системы, является уравнение сплошности.
Уравнение сплошности. Выделим в потоке жидкости (рис. 2.4) элементарный объем о\У — Ахс\ус\г. В направлении х за время ск втекает масса йМх = (р\ух)с1ус!гс1т. Из противоположной грани вытекает
119
dM,
dMx+dx =
ox
dydzdx. Из-
J-----
7
z.
dM,
xtdx
1
лишек массы, вытекающей из элементарного объема по оси х, будет:
дх
аналогично, по оси у
Рис. 2.4. К выводу уравнения сплошности
по оси z
Суммируя, получим избыток массы dM
ta-dAf,-l^dKdx.
8z
d{pwx) | d(pwy) [ d{pwz) дх dy dz
dVdx,
который может быть выражен изменением плотности
др
dM = - -Z-dVd%. дх
(2.36)
(2.37)
Приравнивая (2.36) и (2.37), получаем уравнение сплошности или уравнение сохранения массы в виде
др_ д(рн'х) [ д (pwy) d(pwz) = Q дх дх ду dz
(2.38)
Считая для несжимаемой жидкости р = const и др/<3х = 0, получаем в окончательном виде
dwx дх
+
dw
dw„
ду +17==0'
(2.39)
или в векторной форме: div \Ь = 0.
Приведенная система дифференциальных уравнений (2.22), (2.35) и (2.39) описывает целый класс явлений теплообмена и имеет бесчисленное число решений. Чтобы выделить конкретное явление из множества явлений, описываемых уравнениями (2.22), (2.35), (2.39), необходимо дополнительно задать условия однозначности, которые включают в себя:
геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела;
физические условия, характеризующие физические свойства среды или системы;
начальные условия, характеризующие особенности протекания нестационарных процессов в определенный обычно начальный момент времени;
граничные условия, характеризующие условия протекания процесса на границах тела или системы. Подробнее о задании граничных условий указано в § 2.4.
120
Решение системы дифференциальных уравнений теплообмена средствами математического анализа связано с большими, иногда непреодолимыми трудностями. Аналитические решения удается получить лишь для некоторых частных случаев при условии введения упрощающих предпосылок. Поэтому такие задачи решаются либо численными методами с использованием вычислительной техники, либо для исследования теплообмена используются экспериментальные методы. Численные и экспериментальные результаты представляют собой решения отдельных частных задач, обобщение которых ограничено. При изменении каждого из аргументов требуется новое решение или новый эксперимент. Преодолеть эти трудности позволяет теория подобия.
§ 2.3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ
Теория подобия — это учение о подобных явлениях. Она позволяет сделать из анализа дифференциальных уравнений и условий однозначности ряд общих выводов, не прибегая к интегрированию.
Термин «подобие» заимствован из геометрии. Как известно, геометрические фигуры одинаковой формы подобны, если соответственные углы равны и сходственные стороны пропорциональны. Тогда можно записать х"/х' = у"/у' = z"/z' — Г'//' = С,, где х, у, z, I — координаты сходственных точек или сходственные отрезки. В этом случае Cj называется константой геометрического подобия.
Понятие подобия может быть распространено на любые физические явления. Однако физические явления могут рассматриваться как подобные, если они относятся к классу явлений одной и той же природы. Такие явления аналитически описываются одинаковыми уравнениями по форме и содержанию. По этому признаку, например, выделяют кинематически подобные процессы, если подобны движения потоков жидкости. Динамическое подобие означает подобие силовых полей. Тепловое подобие означает подобие температурных полей и тепловых потоков. Обязательной предпосылкой физического подобия является геометрическое подобие.
Для подобных явлений обязательно также подобие всех существенных величин. При этом сопоставлять можно только однородные величины (имеющие одинаковую размерность и одинаковый физический смысл) в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени. Сходственными точками называются точки, удовлетворяющие условию геометрического подобия Г/1' = С,. Тогда, например, при кинематическом подобии имеем подобие полей скоростей и равенство w'{/w'i = Cw. При динамическом подобии р'[/р\ = Ср. При тепловом подобии — подобие температурных полей t'i/t'i = С,.
