Теплотехника - Чечеткин А.В.
Скачать (прямая ссылка):
Математическая интерпретация закона сохранения энергии применительно к гидродинамическим процессам дана Д. Бернулли в виде уравнения
dp/p + d {с212) = 0, (1.149)
или
udp + d(c2/2) = 0. (1.150)
Таким образом, закон сохранения энергии может быть математически записан либо уравнением (1.147), либо уравнением (1.150). Тогда, совмещая эти уравнения между собой, получим, что
8q = dh — vdp = dh — [d(pu) — pdu] = d (h — pv) + p dv — du + p du,
т. е. получим уравнение (1.37) первого закона термодинамики для рабочего тела, когда оно находится в относительном покое, т. е. для закрытой термодинамической системы.
Таким образом, для потока, движущегося по каналу без трения, с учетом уравнения (1.146) можно написать, что
Ц = d {с2/2) + du + d {pv) = d (с2/2) + du + ЬГ, (1.151)
а с другой стороны, для него справедливо уравнение (1.37). Сравнивая эти два уравнения между собой, видим, что
43
Ы = d (с2/2) + S/\ (1.152)
т. е. работа расширения-сжатия потока трансформируется в кинетическую энергию потока и частично расходуется на движение потока — работу проталкивания. Итак, не вся работа расширения-сжатия, а только часть ее, равная (8/ — §/'), превращается в кинетическую энергию потока. Разность работ расширения-сжатия и проталкивания, равная кинетической энергии потока, называется располагаемой работой и обозначается /0.
Таким образом, можно написать, что
5/0 = d(c2/2) = 67-5/' = pd?;-d(pi;) = -и dp, (1.153)
или в интегральном виде
l0= \ 1 = / - V = pdu- d{pv)=-\ vdp. (1.154) <J и, J /7,1-,
Ы Р1
Для жидкостей, паров и реальных газов располагаемую работу можно рассчитать следующим образом: из уравнения (1.147) следует, что d (с2/2) = eq — dh и, следовательно,
5г0 = с1(с2/2) = ос:]-^, (1.155)
или
/0 = (с| - c\)? = q - А/к (1.156)
Для идеальных газов
2 л ГРІ І
vdp = / - V = -г(рі«і - Р2У2)
; _ С2 ~ с? 'о — л
и
- {P2V2 - PiVi) = _ 1 (рііч - Р2Г2) = пі (1.157)
В частности, для адиабатного процесса п = к и для него
* -1
/0 = /с/ =--r-pif 1
/с - 1
1
Рг
Pt
(1.158)
¦ Покажем, что в координатах р, и площадь, ограниченная кривой процесса, начальной и конечной абсциссами и осью ординат, представляет собой располагаемую работу, т. е. в соответствии с рис. 1.23 пл. а\2Ъ = /0. Как видно из этого рисунка, площадь заштрихованной элементарной площадки V dp = dl0, и, следовательно, вся площадь а12Ъ = /0.
В соответствии с уравнением (1.156) можно написать, что 10 = q + (Их — — /г2) = 4- q°xn, т. е. располагаемая работа в каком-либо процессе равна сумме теплоты этого процесса и теплоты изобарного охлаждения рабочего тела в том же интервале температур (рис. 1.24). Для адиабатного процесса А — С: /0 = - Д/1 = qp*Л = пл. АС аЬ с1А.
Для адиабатного процесса, протекающего в парах, в системе координат Г, 5 (рис. 1.25) располагаемая работа изобразится площадью /0 = = ^1 — Ь2- = пл. ОаЬсЫО — пл. ОаеНО = пл. ескПе. Как видно из рис. 1.26,
44
Рис. 1.25. Графическое изображение располагаемой работы паров в координатах Т, 5
Рис. 1.26. Графическое изображение располагаемой работы паров в координатах И, я
эта же располагаемая работа в системе координат /г, з изобразится длиной отрезка 1-2, так как к\ — 1г2 = /о-
Истечение газов и паров. Большой научно-технический интерес представляет процесс истечения упругого рабочего тела из коротких каналов, называемых насадками или соплами. Обычно течение рабочего тела в соплах, связанное с изменением его параметров, происходит настолько быстро, что теплообмен между этим телом и стенками сопла практически отсутствует. Это обстоятельство дает основание считать процесс истечения рабочего тела из насадок (сопл) адиабатным. Кроме того, в насадках отсутствует техническая работа.
Рассмотрим случай адиабатного истечения рабочего тела через сопло из резервуара, где оно находилось под давлением ри имея удельный объем 1'ь в среду с давлением рср < Рх (рис. 1.27). Предполагаем, что объем резервуара настолько большой, что истечение веществ через сопло в течение рассматриваемого промежутка времени практически не приводит к уменьшению давления в резервуаре. Из уравнения (1.154) следует, что скорость истечения из сопла
с2^]/'ЛоТ?х. (1.159)
45
Обычно сх по сравнению с с2 ничтожно мала и ею можно пренебречь. В этом случае, опуская индекс у скорости тела на выходе из сопла, можно написать, что
с = |/2/о. (1.160)
Для любого рабочего тела в соответствии с формулой (1.156) располагаемая работа /0 = с\ + (1ц — к2) и, в частности, для адиабатного течения /0 = Ь.\ — к2. С учетом этого уравнение (1.160) при адиабатном течении примет вид
с = 1/2 (Лх - Ъг) = 1,414 ^к^Пь, (1.161)
где к — в Дж/кг и с — в м/с.
Так как в области невысоких давлений с изменением последнего жидкость практически не изменяет свой объем, то в соответствии с уравнением (1.154)
Рис. 1.27. Истечение рабочего тела из сопла
'о = - ІРР[» &Р = V (рі - р2),
и, следовательно, скорость истечения из сопла капельной жидкости
с = ]/2Го = ]/ъ{Р1-р2) = 1,414 \/и(р1-р2). (1.162)
