Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
I grad T |ст — модуль градиента температуры жидкости на границе с телом.
Связь между коэффициентами теплоотдачи и теплопроводности имеет вид
« = ~ I grad T |ст.
3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ТЕОРИИ ПОДОБИЯ
1°. Единицей физической величины А называют условно выбранную физическую величину [Л], имеющую тот же самый смысл, что и величина А.
Системой единиц называют совокупность единиц физических величин, относящуюся к некоторой системе величин и образованную в соответствии с принятыми правилами. Основными единицами данной системы называют единицы нескольких разнородных физических величин, произвольно выбранных при построении этой системы. Соответствующие физические величины называют основными величинами данной системы. Систему единиц называют абсолютной системой единиц, если в качестве основных физических величин использованы длина, масса и время. Производными единицами называют единицы, устанавливаемые через другие единицы данной системы на основании физических законов, выражающих взаимосвязь между соответствующими физическими величинами.
Размерностью физической величины В (обозначается dim В) называют выражение, характеризующее связь этой физической величины с основными величинами данной системы единиц. Это выражение представляет собой одночлен в виде произведения символов основных
III.3.3 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ
345
величин A1 в соответствующих степенях Tlj (целых или дробных, положительных или отрицательных):
_ R1 По пь
ClimB = A1 A2 -Ak .
где k — общее число основных величин.
Физическая величина В и ее единица [В] имеют одну и ту же размерность, которую поэтому можно принимать как соотношение между [В] и основными единицами [A1], [A2], [Afc] данной системы единиц:
[В] = [A1]"1 [A2]"2 -[Afc]"*.
Единицы и размерности физических величин в различных системах единиц, а также соотношения между единицами одних и тех же величин в различных системах приведены в Приложении 1.
2°. Однородными физическими величинами называют величины, имеющие одинаковые размерности и физический смысл, т. е. отличающиеся лишь по числовому значению (например, координаты точек тела и его линейные размеры).
Одноименными физическими величинами называют величины, имеющие одинаковую размерность, но различный физический смысл. Примером одноименных величин могут служить коэффициент диффузии и кинематическая вязкость.
Безразмерными называют величины, числовые значения которых не зависят от выбора системы единиц. Например, отношение двух однородных или двух одноименных величин является безразмерной величиной. Отношение двух однородных величин называют симплексом.
3°. Аксиомы теории размерностей.
а) Числовое значение а физической величины А равно отношению этой величины к единице ее измерения [А]:
б) Физическая величина не зависит от выбора ее единицы, т. е. при увеличении единицы в q раз числовое значение данной физической величины уменьшается в q раз.
346
111.3. ГИДРОАЭРОДИНАМИКА
в) Математическое описание какого-либо физического явления, указывающее функциональную зависимость между числовыми значениями физических величин, не зависит от выбора единиц этих величин. Следовательно, все слагаемые уравнения, описывающего физический процесс, должны иметь одинаковую размерность, так что они могут быть преобразованы к безразмерному виду путем деления обеих частей уравнения на какую-нибудь постоянную величину, имеющую ту же размерность.
4°. п-Теорема: всякое соотношение между п размерными величинами, для измерения которых использовано к основных единиц, можно представить в виде соотношения между п — к безразмерными комбинациями U1, ..., пп _ k этих Tl величин.
Например, пусть зависимость между числовыми значениями ах, ..., ап размерных величин A1, ..., An в рассматриваемом явлении имеет вид ап = Дах, а2, ап _ j),
причем единицы первых k величин установлены независимо друг от друга и приняты в качестве основных, а единицы остальных п — к величин являются производными, т. е.
Тогда, увеличив основные единицы [A1], [A2], ..., [АЛ], соответственно, в O1, а2,..... ak раз, можно представить написанное выше соотношение в безразмерном виде:
k k
Пп- к - l)
ИЛИ
где
'Tl
А,
П
Пп - k k
к
і = 1
і = 1
— безразмерные комбинации, или степенные комплексы, физических величин A1, ...,An.
Ш.3.3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ
347
Некоторые следствия я-теоремы:
а) если Ti - k — О, то это значит, что уравнение ап = Hal, ..., ап _ х) составлено неверно, так как его нельзя привести к безразмерному виду;
б) если п - k = 1, то Itn _ к = const.
5°. Два физических процесса называют подобными, если они подчинены одним и тем же физическим законам и все величины , характеризующие один процесс, могут быть получены путем умножения однородных с ними величин , характеризующих другой процесс, на постоянные числа C1, которые называют константами подобия и одинаковы для всех однородных величин: Eti = Cjbti .
Критериями подобия называют безразмерные степенные комплексы, которые входят в безразмерное математическое описание рассматриваемого процесса, составленное с помощью я-теоремы. Для установления вида критериев подобия в каждом конкретном случае необходимо с помощью дифференциальных уравнений процесса и условий однозначности их решения составить список всех размерных величин A1, ..., An, характеризующих этот процесс, а затем применить я-теорему к функциональной зависимости f(av ..., ап) = 0, представляющей собой неизвестный интеграл (решение) задачи.
