Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
5°. Для учета специфических особенностей конкретной задачи и получения однозначного решения указанной выше системы дифференциальных уравнений гидроаэродинамики необходимо еще указать начальные и граничные условия для рассматриваемой задачи.
Начальные условия определяют состояние движения жидкости в начальный момент времени t = О:
uJrtl = h(x> У• г- °)> иуо = Ых- У> г- °) и т- Д-
B случае установившегося движения жидкости надобность в задании начальных условиях отпадает.
. Граничные условия определяют особые условия движения жидкости на ее границах с твердыми телами, на свободной поверхности жидкости и на поверхностях раздела несмешивающихся жидкостей.
6°. Некоторые случаи граничных условий для идеальной жидкости:
а) в точках поверхности неподвижной твердой стенки нормальная к поверхности составляющая скорости жидкости равна нулю (условие скольжения):
U.-0.n=nU,g+U,g+U,U-0.
где Ф(х, у, z) = 0 — уравнение поверхности стенки;
338
III.3. ГИДРОАЭРОДИНАМИКА
б) если стенка перемещается в пространстве и в общем случае деформируется при этом, то скорость любой точки поверхности и скорость частицы жидкости, находящейся в данный момент в этой точке, должны иметь одинаковые проекции на направление нормали к поверхности'
где Ф(х, у, z, t) = О — уравнение подвижной поверхности;
в) на свободной поверхности жидкости, Ф(х, у, z, t) = = О, помимо условия б), должно выполняться условие постоянства давления: р(х, у, z, t) = const;
г) на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей должно выполняться условие равенства давлений обеих жидкостей, а также условие равенства нормальных к поверхности раздела составляющих скоростей самой поверхности и обеих жидкостей.
7°. Некоторые случаи граничных условий для вязкой жидкости:
а) в точках поверхности неподвижной стенки скорость жидкости равна нулю (условие, прилипания)-,
б) в точках поверхности движущейся стенки скорость жидкости равна скорости соответствующей точки стенки.
8°. Для установившегося движения идеальной барот-ропной жидкости в потенциальном силовом поле справедливо уравнение Бернулли (интеграл Бернулли):
где фу — потенциал поля массовых сил, а С — величина, одинаковая для всех точек данной линии тока и, в общем случае, изменяющаяся при переходе от одной линии тока к другой.
Если на жидкость не действуют иные массовые силы, кроме силы тяжести, то (pF — gz (ось Oz направлена вертикально вверх), и уравнение Бернулли имеет вид
Для несжимаемой жидкости
Ш.3.1 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТЕИ
339
где Щ- — скоростной напор (динамическое давление), &
р — статическое давление, — пьезометрическая
высота, — — скоростная высота.
Для сжимаемой баротропной жидкости интеграл
Г — зависит от вида процесса изменения состояния. J P
В случае изотермического и адиабатного (изоэнтропий-ного) процессов идеального газа
J = Ze1 Inp + const,
изотерм
K-I
f ^ = Ze2 —!— р к + const,
J р “к-1
адиабат
с
где к = -5 — отношение удельных теплоемкостей газа
Cy
в изобарном и изохорном процессах (показатель адиабаты), и k2 — постоянные величины.
9°. Потенциальное движение (rot v = 0) идеальной баротропной жидкости возможно только в том случае, когда массовые силы являются потенциальными. Для этого случая движения справедливо соотношение Коши (интеграл Коши)'.
I? +J ?
где ф — потенциал скорости (v = grad ф), фр — потенциал массовых сил, a f(t) — функция времени, вид которой остается произвольным.
Для установившегося потенциального движения идеальной баротропной жидкости справедливо уравнение Бернулли—Эйлера (интеграл Бернулли—Эйлера)
Фг+| +I^ =Const,
где константа, в отличие от уравнения Бернулли, одинакова для всех линий тока.
340
111.3. ГИД Р0АЭ РОДИ НАМ И KA
10°. Плоским движением называют такое движение жидкости, при котором все ее частицы движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, причем скорости всех частиц, лежащих на одном и том же перпендикуляре к этой плоскости, одинаковы. Если неподвижную плоскость принять за координатную плоскость, то в случае плоского движения
Vx = /і(ж, У, t), Vy = f2(x, у, t), Vz = 0.
Для плоского движения несжимаемой жидкости
V = V =-§ї,
х ду ’ » дх’
где \|:(х, у, 1) — функция тока. Семейство линий Y|)(x, у, t) = const (время t играет роль фиксированного параметра) представляет собой совокупность линий тока на плоскости хОу в момент времени t.
Если поле внешних сил потенциальное, то функция тока идеальной несжимаемой жидкости удовлетворяет дифференциальному уравнению
— Лш = ^ ЭА\|/ _ Эч/ ЭАу dt V дх ду ду дх ’
где Д = ІІ + — двумерный оператор Лапласа.
дх2 ду2
Если плоское движение несжимаемой жидкости является потенциальным, то справедливы -уравнения Коши—Римана:
Эч/ _ Эф Э\|/ _ _Э<р ду Эх ’ Эх ду
Функция тока Xff и потенциал скорости <р удовлетворяют уравнению Лапласа: Д\|/ = 0, и Д<р = 0. Линии тока являются ортогональными траекториями семейства линий равного потенциала скорости.
