Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
dv . dv . dv2
Ялок ~ ~dt 1 + ~ЭГ J Э7
— локальное ускорение, обусловленное изменением ПОЛЯ скоростей во времени, и
( Эи dv dv Y
aKOHB = ( vX^ + + J1 +
i-(vxp + + v/p ]j + fVxp + v p + vtp )k
I. Эх y dy dz Г I Эх y dy dy )
— конвективное ускорение, обусловленное неоднородностью поля скоростей.
В дальнейшем все уравнения гидроаэродинамики записывают в переменных Эйлера, причем под х, у, г подразумевают прямоугольные декартовы координаты.
3°. Движение жидкости называют установившимся или стационарным, если поле ее скоростей не изменяется с течением времени. В противном случае движение называют неустановившимся. При установившемся движении жидкости поля давления и плотности не зависят от времени.
Потенциальным или безвихревым называют такое движение жидкости, при котором в каждый момент времени во всем объеме жидкости rot V S о, т. е. скорость равна градиенту некоторой скалярной функции координат и времени <р(х, у, г, t), называемой потен-
111.2.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
331
циалом скорости. Если существуют области жидкости, в которых rot V ^ О, то движение жидкости называют вихревым.
4°. Линией тока называют линию, касательная в каждой точке которой в данный момент времени t совпадает по направлению с вектором скорости жидкости в этой точке. В случае установившегося течения жидкости линии тока совпадают с траекториями частиц жидкости. Уравнение линий тока имеет вид
dx _ dy _ dz vx(x, у. z, і) vy(x, у, г, і) иг(х, у, г, і) ’
где время является фиксированным параметром.
Трубкой тока называют поверхность, образованную линиями тока, проведенными через все точки малого замкнутого контура. Часть жидкости, ограниченную трубкой тока, называют струйкой. В случае установившегося движения жидкости, трубки тока не изменяются во времени, и частицы жидкости движутся так, что каждая из них остается в пределах определенной струйки.
5°. Циркуляцией скорости вдоль замкнутого контура L называют криволинейный интеграл
r=jjvdl,
L
где dl — элементарный вектор, модуль которого равен длине дуги элементарного участка контура и направлен по касательной к контуру в сторону его обхода.
По теореме Стокса из векторного анализа
Г = J rot„ V dS, s
где S — площадь поверхности, натянутой на замкнутый контур L, rotn V — проекция rot V на направление
нормали п к элементу dS этой поверхности1*. В случае потенциального движения жидкости Г = О независимо от выбора контура.
Векторы п проводятся таким образом, чтобы при наблюдении из концов этих векторов обход контура L, принятый при вычислении циркуляции, был виден происходящим против часовой стрелки.
332.
HI.2. КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА
6°. Вихревой линией называют линию, касательная в каждой точке которой в данный момент времени t совпадает по направлению с вихрем скорости (rot v) в этой точке. Уравнение вихревой линии имеет вид
dx _ dy _ dz rotxv rot^v rotjV ’
где rot^v, rot^v, rotzv — проекции вектора rot v на соответствующие оси координат.
Вихревой трубкой называют поверхность, образованную вихревыми линиями, проведенными через все точки малого замкнутого контура. Жидкость, заключенная внутри вихревой трубки, называют вихревой нитью.
Интенсивностью вихревой трубки (вихря) называют поток вектора rot v через поперечное сечение вихревой трубки. Интенсивность вихря постоянна вдоль всей вихревой трубки и равна циркуляции скорости вдоль произвольного замкнутого контура, проведенного на поверхности вихревой трубки и охватывающего трубку один раз.
7°. Потоком жидкости сквозь неподвижную поверхность S называют массу тсек жидкости, проходящей сквозь эту поверхность за единицу времени:
тсек= J Pvn dS = J j ¦ ndS,
S S
где п — единичный вектор нормали к элементу поверхности dS, Vn — проекция вектора скорости жидкости на направление n, j = pv — вектор плотности потока жидкости.
2. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ
1°. В процессе движения жидкости должен выполняться закон сохранения массы. Математическим выражением этого закона в гидроаэромеханике служит уравнение неразрывности. В переменных Эйлера оно может быть записано в нескольких эквивалентных формах:
III.2.2. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ
333
а) ^ + р div v=0, или + р f + + — 1 = 0,
dt df V да; ду dz J
где р(х, у, Z1 t) — плотность жидкости, v(x, у, Zt і) —
л. dp*. 0i>„ dv-
ее скорость, a div v = —* + —I + —- — дивергенция
ox By 02
вектора v;
б) |е + div (pv) =0, или |е + ^cpuJ + +
+ А (PU,) = or
Б) ^ + P div. V + V- grad р = О, или ^ + pf + +
ot dt V dx ду
+ S + v«%+и4?)=°-где grad р - гради~
ент плотности.
2°. Уравнение неразрывности для несжимаемой
жидкости
(зї-°>
,. ^ Svr dv„ dv,
div v = 0, или —і + + —? = О.
ох Э у дг
Если движение несжимаемой жидкости потенциальное, то потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа:
Э2ф + Э2ф + Э2ф = 0 Эх2 Эу2 Эг2
Уравнение неразрывности для установившегося
о)
, V ^ Э(ри„) Э(ри„) Э(ри,)
div (pv) = О, или - ' *' + _1L_T + -It: г) = О.
ох Эу dz
