Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
2°. Уравнения равновесия жидкости-.
F = і F = і §?
* р Эх ’ у р ду ’ 2 р Эг ’
где Fx, Fy л Fz — проекции на оси прямоугольной декартовой системы координат вектора F результирующей напряженности поля массовых сил, действующих на жидкость. В векторной форме уравнение равновесия имеет вид
F = і gradp.
P
Уравнения равновесия получают из уравнений гидродинамики идеальной жидкости в предположении, что скорость движения жидкости равна нулю.
III.1.2. ГИДРОАЭРОСТАТИКА
327
3°. Равновесие жидкости под действием массовых сил возможно только в том случае, если напряженность F поля этих сил удовлетворяет соотношению
3X Эу дг J у{ дг дх J 4 Эх ду ) или, в векторной форме
F ¦ rot F = O,
где
. „ fdFz SFu Л , ( ЭFx дFz \ ( dFv дFx V
rotF- I Jf - э/М TiF - 37 > Ч Si-Тії>
— ротор, или вихрь векторного ПОЛЯ F.
Если плотность жидкости р не зависит от координат,
то і grad р — grad - , и равновесие возможно только в потенциальном силовом поле (F = — grad <р) с потенциалом ф = — S- + const. Поверхности равного давления совпадают с поверхностями равного потенциала.
4°. Равновесие жидкости в однородном поле силы тяжести (F = g = const). Если ось Oz направлена в сторону, противоположную g, то Fz = —g, Fx = Fy = 0, и уравнение равновесия имеет вид
= -g dz.
P
В общем случае для жидкостей плотность является функцией давления и температуры: р = р(р,Т). Если температура жидкости всюду одинакова (условие теплового равновесия) и жидкость несжимаема, то р + pgz =р0,
где р0 — давление на уровне z = 0. Это соотношение называют основным уравнением гидростатики для несжимаемой жидкости. Обычно начало отсчета z совмещается со свободной поверхностью жидкости, тогда P0 — внешнее давление на этой поверхности.
Разность р - р0 не зависит от р0, т. е. давление, производимое на жидкость внешними силами, передается ею по всем направлениям равномерно (закон Паскаля).
Для сжимаемой жидкости, находящейся в тепловом и механическом равновесии, должна быть одинакова
328
III.2. КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА
по всему объему сумма Ф + gz, где Ф — изобарноизотермический потенциал единицы массы жидкости, a gz — потенциальная энергия-единицы массы жидкости в поле силы тяжести.
Механическое равновесие жидкости в поле силы тяжести возможно и в случае отсутствия теплового равновесия, если температура жидкости изменяется только вдоль вертикальной оси Oz. Это равновесие устойчиво, если выполняется следующее неравенство (условие отсутствия конвекции):
{ён } > о,
UTjpd2
где Vu s — удельные объем и энтропия соответственно. Для большинства жидкостей ^ j > О, и условие отсутствия конвекции имеет вид — > О, или, как следует
dz
из термодинамики,
dT >_gT( dz cpv[dTjp’
где Cp — удельная теплоемкость жидкости в изобарном процессе. Для идеального газа
dI >-?
dz ср'
5°. Закон Архимеда', на погруженное в жидкость тело действует выталкивающая сила, которая равна весу жидкости, вытесненной телом, и приложена в центре тяжести объема погруженной части тела.
Глава 2 КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1°. В кинематике жидкостей возможны два различных метода описания движения. Один из них, называемый методом Лагранжа, состоит в том, что
111.2.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
329
движение жидкости задается зависимостью от времени t координат всех ее частиц:
х = Fx(a, Ъ, с, f), у = F2(a, Ъ, с, t),
[z = F3(a, b, с, t),
где а,Ьис — координаты частицы в начальный момент времени t = О, служащие для обозначения частицы. Исключая из этих уравнений время, можно получить уравнение траектории частицы. Величины а, Ь, с тлі называют переменными Лагранжа. Проекции на оси координат векторов скорости V и ускорения а частицы равны:
и и = ^ и =*1
х dt ’ » dt ’ Эг ’
a a = а = —
* 0f2 ’ у dt2' г dt2 ‘
2°. Второй метод кинематики жидкостей называют методом Эйлера; он заключается в том, что движение жидкости определяется заданием поля скоростей жидкости в пространстве в каждый момент времени, т. е.
V = f (г, t),
или, в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат,
vx = fi (*> У• z- О»
¦{ Vy " /г (*• У’ z- *)> vz = fz (*> У• г- *)•
где V = VjlI + UyJ + Uzк — скорость жидкости в момент иремени t в точке пространства, определяемой радиусом-вектором г = xi + у] + zk. Величины X, у, z, t назы-іют переменными Эйлера. В качестве переменных Эй-іера вместо прямоугольных декартовых координат <*. у, z) можно пользоваться цилиндрическими, сферическими и другими координатами.
330
111.2. КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА
Проекции вектора а (ускорения частиц жидкости) на оси прямоугольной декартовой системы координат равны:
du, dv dvx dvx dvx
ах = = -=Ti + -=Tf Vx + Vu + -Vf 1V
¦* df dt Эх 9і/ у Эг
du„ dv„ Эи„ . Эи„ , Эи„
аи= = -Zr1 + ^rlvX+ -^rlvV+ ^TlvZ'
у df Э t dx Э у у dz
du_ dv, dv, dv, , dv,
aZ = -T1 = + "=Tf + vU + 1V
df dt Эх ду v ду
Из этих выражений видно, что ускорение частицы жидкости равно сумме ,двух ускорений: а = алок + аконв, где