Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
ни ilf. ні г її горы и .>тот поворот совершается: ш =
d t
Нскюр ш нанраилен вдоль мгновенной оси вращения в
I V же сторону, что и вектор dip.
Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, модуль угловой скорости равен модулю производной от
угла поворота ф по времени: о) = ~ = ф , а направление
вектора ю вдоль оси вращения совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого вращается вместе с телом (рис. 1.1.4).
Рис. 1.1.4
20
1.1 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
4°. Скорость V произвольной точки M тела, вращающегося вокруг неподвижной оси (рис. 1.1.5), равна
V = CBxr и i> = со г sin а = соR,
где г — радиус-вектор, проведенный в точку M из любой точки О оси вращения тела, a R — г sin а — расстояние от оси вращения до точки М. Эти же соотношения верны и в случае вращения твердого тела вокруг неподвижной точки О.
Проекции вектора v на оси неподвижной прямоугольной декартовой системы координат равны
vx = tV - «гг/> Vy = агх - слхг, Vz = ыху - ыух,
где х, у и z — проекции вектора г на эти оси.
Периодом обращения тела называют промежуток времени Т, в течение которого тело, вращаясь вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью ш, поворачивается на угол ф = 2л:
Рис. 1.1.5
T =
2л
Величину п — — = — называют частотой вращения.
T 2 Ti
5°. Мгновенная ось вращения тела, движущегося вокруг неподвижной точки О (начала координат), представляет собой геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент времени равны нулю. Поэтому для точек мгновенной оси вращения справедливо уравнение: v = ш х г = 0, т. е. радиус-вектор г любой точки M этой оси параллелен вектору со.
6°. Тело, вращающееся вокруг неподвижной точки, обладает тремя степенями свободы: его положение относительно неподвижной системы отсчета полностью определяется заданием трех координат (например, двух направляющих косинусов какой-либо оси, проходящей через неподвижную точку тела и жестко связанной с ним, а также угла поворота тела вокруг этой оси). В качестве независимых координат обычно вы-
1.1.4. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
21
Рис. 1.1.6
бирают три угла Эйлера у,
0 и ф (рис. 1.1.6). Ox, Oy и Oz — оси неподвижной прямоугольной правой декартовой системы координат; Ox',
Oy' и Oz' — оси аналогичной подвижной системы координат; i, j, к и Ї, У, к' — единичные векторы координатных осей; О — неподвижный центр; линию ON пересечения плоскостей хОу и х'Оу' называют линией узлов. Линия узлов перпендикулярна к плоскости zOz', а единичным лектор п, определяющий положительное направление на линии узлов, совпадает по направлению с векторным произведением к х к', т. е. тройка векторов к, к' и п имеет ту же ориентацию, что и орты координатных осей.
Угол \j/ между осями Ox и ON называют углом прецессии. Угол 0 между осями Oz и Oz' называют углом нутации. Угол ф между осями ON и Ox' называют углом чистого вращения. Углы у, 0, и ф отсчитываются в направлениях, которые определяются правилом правого винта, т. е. соответствуют изображенным на рис. 1.1.6 направлениям вращения вокруг осей: Oz — для угла у, ON — для угла со и Oz' — для угла ф. Углы Эйлера изменяются в следующих пределах:
О < 0 < л,
О < ф < 2я.
Проекции вектора ев угловой скорости тела на оси неподвижной (х, у, z) и подвижной (х', у', z') систем координат удовлетворяют кинематическим уравнениям Эйлера для твердого тела:
ых = 0 cos у + ф sin 0 sin у,
COy = 0 COS у - ф sin 0 sin V,
(Oz = \j/ + ф COS 0,
Ox- = 0 COS ф +\j/ sin 0 sin ф,
COy- = —0 COS Ф + V s^n O sin Ф,
Oz- = ф + 4/ COS 0.
22
1.1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
7°. Угловым ускорением называют вектор є, равный первой производной от вектора угловой скорости по времени:
Угловое ускорение характеризует быстроту измерения во времени вектора угловой скорости тела. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси вектор E направлен также вдоль этой оси, так что проекция ? на направление вектора св равна
Вектор E совпадает по направлению с св в случае ускоренного вращения ^Eftj = ^ > О j и противоположен ему по направлению в случае замедленного вращения
8°. Ускорение произвольной точки M тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О (начала координат), равно
Вектор авр= ? х г, направленный перпендикулярно к плоскости, образуемой векторами ? и г, называют вращательным ускорением точки M тела. Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то авр совпадает с касательным ускорением ат точки М.
Вектор ац = со х (со х г), направленный перпендикулярно мгновенной оси вращения тела от точки M к оси, называют осестремительным ускорением точки M тела. Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то ац совпадает с нормальным ускорением ап точки М.
9°. В самом общем случае свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы. Его положение в пространстве определяется тремя координатами X0 , у0, Z0 какой-либо произвольно выбранной точки О' тела, называемой полюсом, и тремя углами Эйлера у, 0, ф, характеризующими положение тела по отношению к пря-