Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
2 2 »1 2 2 п2
Ш1 = И0 Zr > И2=а07’
Рг Рг
где ійд = . Так как F1It) = О и F2(t) = F(Z) = F0 сов Clt, то
f\(t) = cos Cit, f2(t) = - cos Cit.
Jm1P1 JmlP2
Уравнения движения в нормированных нормальных координатах:
Q1 + COp Q1 = —cos fit (/ = 1, 2).
JmIPi
Общее решение имеет вид
Qf = A1 cos (Cit + (P1) + B1 cos (сof + ^l),
где второй член характеризует свободные колебания системы, a A1 и фг, в соответствии с формулами для одномерных вынужденных колебаний, равны
A1 = - -----— , tg ф, = О.
Jm1Pl(W0-Qz)
Неизвестные функции xt(t) и x2(t) равны:
154
1.6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
4. КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ, ИМЕЮЩЕЙ ОДНУ СТЕПЕНЬ СВОБОДЫ
А. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1°. Дифференциальное уравнение колебаний нелинейной системы в общем случае имеет вид
х + f(x, X , t) = 0.
2°. Колебательную систему называют автономной, если время явно не входит в уравнение движения:
х + f(x, X ) = 0. (6.5)
Дифференциальное уравнение колебаний автономной консервативной системы не содержит обобщенной скорости X:
х + fix) = 0 (6.6)
и описывает свободные колебания.
Автономную неконсервативную систему называют диссипативной, если ее движение носит характер затухающих колебаний. Если автономная неконсервативная система может совершать периодические колебания, то она называется автоколебательной, а ее колебания — автоколебаниями. Амплитуда и частота автоколебаний определяются только свойствами самой системы.
3°. Колебательную систему называют неавтономной, если время t явно входит в дифференциальное уравнение движения. Вынужденными колебаниями неавтономной системы называются процессы, происходящие в системе, если заданная периодическая функция времени Fit) входит слагаемым в дифференциальное уравнение движения:
х + fix, х ) = Fit).
Правую часть уравнения называют приведенной возмущающей силой. В зависимости от вида функции fix, х ) различают вынужденные колебания недиссипативных систем, диссипативных систем или автоколебательных систем.
1.6.4 КОЛЕБ. НЕЛИН. СИСТ. С ОДНОЙ СТЕП СВОБОДЫ 155
Параметрическими называют колебания, описываемые дифференциальными уравнениями вида
х + [a + P(t)]x = О,
где P(t) — заданная периодическая функция времени.
Б. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ
1°. В дифференциальном уравнении (6.6) f(x) представляет собой восстанавливающую силу, приведенную к единице массы системы и нелинейно зависящую от координаты х системы.
Зависимость f(x) называют квазиупругой характеристикой системы. При f(x) = - f( x) квазиупругую характеристику называют симметричной. В зависимости
- d2f
от знака второй производной —симметричную квази-
Ax2
упругую характеристику называют:
A2f
жесткой, если при х > О —L > 0 (рис. 1.6.16, а),
djr2
мягкой, если при х ^ О
A2 f Ax2
¦ 0 (рис. 1.6.16, б).
2°. Свободные колебания консервативной системы являются периодическими, но ангармоническими. Период свободных колебаний зависит от амплитуды колебаний и при симметричной квазиупругой характеристике равен
T = 2j2 * d*
j7(x')dx'
где А — амплитуда колебаний.
156
1.6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Примеры. х
1. Квазиупругая кубическая характеристика: f(x) — х3. Период колебаний равен
А
dx _ 7,316
T =
= 4,/2/
Ja4-X4
2. Математический маятник при больших углах отклонения а (см. рис. 1.6.3). Квазиупругая характеристика:
Да) = I sin а.
Период колебаний выражается эллиптическим интегралом:
T= 2
А
I Г da
о
где А — наибольший-угол отклонения (амплитуда колебаний). Выражение для периода T можно представить в виде степенного ряда:
3°. Приближенная формула для периода свободных колебаний при любом виде симметричной квазиупру-гой характеристики:
T = 2пА2
А
5 I
Jf(x)x3dx
1 о
В. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДИССИПАТИВНОЙ СИСТЕМЫ
1°. При не слишком значительном рассеянии механической энергии период свободных затухающих коле-
2 JT
баний приближенно равен периоду — свободных коле-
CO0
1.6.4. КОЛЕБ. НЕЛИН. СИСТ. С ОДНОЙ СТЕП. СВОБОДЫ 157
баний соответствующей консервативной системы, а движение системы в течение одного периода приближенно описывается уравнением
х = A cos со 0f,
где А — зависящая от времени амплитуда колебаний. Кривая A = A(t) представляет собой огибающую графика колебаний.
2°. При нелинейно-вязком трении приведенная сила неупругого сопротивления имеет вид
R = k\x\n~l X,
где k U п Tt 1 — постоянные для системы. Уравнение огибающей для системы с линейной квазиупругой характеристикой имеет вид
A= ----. - А° ¦¦¦
-ijl + ~kS(v>0A0r-4
где A0 — отклонение системы при t = О, я
S = 2 J sin" + 1XJ/ dy.
о
Значения S даны в таблице:
п О 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
S 4,000 3,500 3,142 2,874 2,666 2,493 2,356
3°. Внутреннее трение в материале при циклическом деформировании характеризуется явлением гистерезиса (рис. 1.6.17). Приведенная сила неупругого сопротивления равна
Д = ±ЬА" I1- — ,
1J A2
где b и п — постоянные системы, а знаки плюс и минус со-
