Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Яворский Б.М. -> "Справочник по физике для инженеров и студентов" -> 39

Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.

Яворский Б.М. , Детлаф А.А., Лебедев А.К. Справочник по физике для инженеров и студентов — М.: Оникс, 2006. — 1056 c.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка): spravochnikpofizike2006.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 307 >> Следующая


A = I

s

s

I = 1

Функция Лагранжа:

I= 1

S

S

L= \ S Mf-P1Qi2) -1 ? &,(ё?-ш?в?),

і = і

і = і

где Cal -

— — собственная циклическая частота систе-

рованными нормальными координатами
144

1.6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Тогда L = і Y (Qf - Cijfof). Дифференциальные урав-і = і

нения движения системы имеют вид

Qi + cof Qf = О (I = 1, 2, s).

6°. Для системы с двумя степенями свободы, соответствующими обобщенным координатам X1 и х2,

+2bIiiIiZ + fc22*2>>

Wn= I (PnxI + ^p12X1X2 + P22 лс2).

Нормальные (ненормированные) координаты системы G1 и 62 связаны с X1 и X2 соотношениями:

xI ~ Yi 0I Уг ®2»

*2 = O1 + ®2>

о _ ^1-Y2X2

H1 — --------¦,

T1-Y2 _ *,-Yi*2

D2 — -------- і

Y2-Yi

где Y1 и у2 удовлетворяют уравнениям:

^llYlY2 + 2( Yl + Y2) + Ь22 = О’

Р11У1Y2 Pl2^Yl + Y2) Р22 =

Кинетическая и потенциальная энергии системы, выраженные в нормальных координатах G1 и G2, имеют вид

Wx=IiblG21 +Ъ2&\),

^n= I (Pl 01 +P2Ol),

где

bI ~ bIlYt ^b12Yi + Ь2‘/’

Pi = PiiY; + ^Pi2Yi + Р22 (1=1,2).
1.6.3. МАЛЫЕ КОЛЕБ CHCT С НЕСКОЛЬК. СТЕП СВОБОДЫ 145

Квадраты собственных циклических частот системы равны

CO,2 = = PnYfliPlgY, +Pg 1,2).

' Ьиу,+2Ь12у, + Ь22 Примеры.

1. Двойной плоский маятник (рис. 1.6.11). Потенциальная энергия:

Wn = I - cos а) +

+ — cos Ct1) + /2(1 - cos Ct2)].

„ а, а,

В случае малых колебании sin ~ к

и sm — = — ,

2 2

tn j (/^2

*2

Рис. 1.6.11

^IctI + Sl2Ot2,

Pu = (mi + m2) ^Z1, P12 = O, P22 = Wi2^Z2. Кинетическая энергия:

, г ч . тг і хї . J.2 ,



W„= (*i + У\)+ ^(*2 + у2),

где

X1 = Z1 sin Ct1, i/i = Zi cos Ci1,

X2 = Zj sin Cx1 + I2 sin a2, y2 = Z1 cos Ct1 + Z2 cos a2-

B случае малых колебаний

W =

m, + m2 ,2.2

ZjCX1 + In2I1IzCX1U2 + — Z2a2 ,

2 2 Ьц = (ffij + m2)l1, &i2 = Wi2I1I2, b22 = m2l2 ¦

Уравнения Лагранжа для малых колебаний имеют вид:

(mi + WizK1CX1 + тп212 CX2 + (Wi1 + Tn2^ga1 = О,

Z1Ct1 +Z2 Ct2 +#а2 = 0.
146

1.6 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Характеристическое уравнение имеет вид (Tti1 + m2)gli - co2(m1 + m2)l\

-ш 2Tn2Iil2

Квадраты собственных циклических частот W1 и со2 равны

2. Плоское движение материальной точки под действием двух взаимно перпендикулярных квазиупругих сил F1 и F2- В прямоугольной декартовой системе координат хОу, начало которой совпадает с положением равновесия материальной точки, а оси Ox и Oy направлены вдоль линий действия соответственно СИЛЫ F1 и силы F2, уравнения движения точки имеют вид

где P1 и P2 — коэффициенты квазиупругих сил F1 и F2. Координаты хну являются нормальными, и их зависимость от времени имеет вид

X =A1 cos (cojt + Cp1) и у =A2 cos (ю2/ + ф2),

± Jim1 + т2)[(т1 + Vi2Xl1 + I2)2 - Am1I1I2]

Общее решение имеет вид:

тх + P1X = О, mV + P гУ = °>

где O1 =

и со2 = — собственные циклические

частоты.
1.6.3 МАЛЫЕ КОЛЕБ СИС7 С НЕСКОЛЬК СТЕП СВОБОДЫ 147

Таким образом, движение точки является результатом наложения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Траектория точки заключена внутри прямоугольника, стороны которого параллельны осям Ox и Oy и соответственно равны 2A1 и 2А2, а центр совпадает с точкой О. Если отношение частот Co1 и Co2 — число рациональное, то траектории замкнуты и их называют фигурами Лиссажу. Вид фигур Лиссажу

(O2 ^

зависит от — , —: и от приведенной разности началь-

со

ных фаз Дф = ф1 — — ф2 (рис. 1.6.12). Отношение частот ш2

COg „

— равно отношению числа касании фигуры Лиссажу с

COi

горизонтальной и вертикальной сторонами прямоугольника, в который она вписывается.

Дф = Ч>1 - 4<Р2 Дф = я/4

Дф = Згс/8

Дф = л/2

Дф = 5л/8

Если CO1 = со2, то фигуры Лиссажу имеют форму эллипса:

— + „ A2 А Л1 2

~ COS (ч>2 _ Ч>1> = sin2 (Ч>2 ' Фі)-

A1A2

Такие колебания называют эллиптически поля ризовапными. На рис. 1.6.13 показаны частные слу-
148

1.6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

чаи эллиптически поляризованных колебаний. При Дер = = Ф2 - (P1 = (2ft + 1)^ (ft = 0; ±1; ...) эллипс приведен к

осям Ox и Oy. Если, кроме того, A1 = A2, то траектория точки имеет вид окружности.

Такие колебания называют циркулярно поляризованными (поляризованными по кругу). Если ф2 — P1 = = /от (ft = 0; ±1; +2; ...), то эллипс вырождается в отрезок прямой, и колебания называют линейно поляризованными.

Дф= 0; 2я; ...

У ^2
I ! 0
IA1 х 1 1


Л1Р = | У Г 5 п 2 * ¦" ^2
Ja1 X
-A2

Рис 1.6.13

3 Два одинаковых математических маятника с упругой связью (рис. 1.6.14). Если массой пружины В можно пренебречь, то в случае малых колебаний

и

W,,

_ mgl

(ocf + CC2 j + і al2(a2 - Ct1)2,

где а — коэффициент упругости пружины, т — масса маятника.
1.6.3. МАЛЫЕ КОЛЕБ. Cl/lCT С НЕСКОЛЬК. СТЕП. СВОБОДЫ 149

CX2 + CXi ~

Произведя замену переменных: B1 = —-— и 02 —

а9 - Cx1 = ——^—і , получим

Wk = TtilHe21 +Q22) и Wn = mgl(Q2 +Q22)+ 2o.12q\ .

Координаты G1 и G2 являются нормальными. Уравнения Лагранжа имеют вид
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 307 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed