Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
A = I
s
s
I = 1
Функция Лагранжа:
I= 1
S
S
L= \ S Mf-P1Qi2) -1 ? &,(ё?-ш?в?),
і = і
і = і
где Cal -
— — собственная циклическая частота систе-
рованными нормальными координатами
144
1.6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Тогда L = і Y (Qf - Cijfof). Дифференциальные урав-і = і
нения движения системы имеют вид
Qi + cof Qf = О (I = 1, 2, s).
6°. Для системы с двумя степенями свободы, соответствующими обобщенным координатам X1 и х2,
+2bIiiIiZ + fc22*2>>
Wn= I (PnxI + ^p12X1X2 + P22 лс2).
Нормальные (ненормированные) координаты системы G1 и 62 связаны с X1 и X2 соотношениями:
xI ~ Yi 0I Уг ®2»
*2 = O1 + ®2>
о _ ^1-Y2X2
H1 — --------¦,
T1-Y2 _ *,-Yi*2
D2 — -------- і
Y2-Yi
где Y1 и у2 удовлетворяют уравнениям:
^llYlY2 + 2( Yl + Y2) + Ь22 = О’
Р11У1Y2 Pl2^Yl + Y2) Р22 =
Кинетическая и потенциальная энергии системы, выраженные в нормальных координатах G1 и G2, имеют вид
Wx=IiblG21 +Ъ2&\),
^n= I (Pl 01 +P2Ol),
где
bI ~ bIlYt ^b12Yi + Ь2‘/’
Pi = PiiY; + ^Pi2Yi + Р22 (1=1,2).
1.6.3. МАЛЫЕ КОЛЕБ CHCT С НЕСКОЛЬК. СТЕП СВОБОДЫ 145
Квадраты собственных циклических частот системы равны
CO,2 = = PnYfliPlgY, +Pg 1,2).
' Ьиу,+2Ь12у, + Ь22 Примеры.
1. Двойной плоский маятник (рис. 1.6.11). Потенциальная энергия:
Wn = I - cos а) +
+ — cos Ct1) + /2(1 - cos Ct2)].
„ а, а,
В случае малых колебании sin ~ к
и sm — = — ,
2 2
tn j (/^2
*2
Рис. 1.6.11
^IctI + Sl2Ot2,
Pu = (mi + m2) ^Z1, P12 = O, P22 = Wi2^Z2. Кинетическая энергия:
, г ч . тг і хї . J.2 ,
"Г
W„= (*i + У\)+ ^(*2 + у2),
где
X1 = Z1 sin Ct1, i/i = Zi cos Ci1,
X2 = Zj sin Cx1 + I2 sin a2, y2 = Z1 cos Ct1 + Z2 cos a2-
B случае малых колебаний
W =
m, + m2 ,2.2
ZjCX1 + In2I1IzCX1U2 + — Z2a2 ,
2 2 Ьц = (ffij + m2)l1, &i2 = Wi2I1I2, b22 = m2l2 ¦
Уравнения Лагранжа для малых колебаний имеют вид:
(mi + WizK1CX1 + тп212 CX2 + (Wi1 + Tn2^ga1 = О,
Z1Ct1 +Z2 Ct2 +#а2 = 0.
146
1.6 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Характеристическое уравнение имеет вид (Tti1 + m2)gli - co2(m1 + m2)l\
-ш 2Tn2Iil2
Квадраты собственных циклических частот W1 и со2 равны
2. Плоское движение материальной точки под действием двух взаимно перпендикулярных квазиупругих сил F1 и F2- В прямоугольной декартовой системе координат хОу, начало которой совпадает с положением равновесия материальной точки, а оси Ox и Oy направлены вдоль линий действия соответственно СИЛЫ F1 и силы F2, уравнения движения точки имеют вид
где P1 и P2 — коэффициенты квазиупругих сил F1 и F2. Координаты хну являются нормальными, и их зависимость от времени имеет вид
X =A1 cos (cojt + Cp1) и у =A2 cos (ю2/ + ф2),
± Jim1 + т2)[(т1 + Vi2Xl1 + I2)2 - Am1I1I2]
Общее решение имеет вид:
тх + P1X = О, mV + P гУ = °>
где O1 =
и со2 = — собственные циклические
частоты.
1.6.3 МАЛЫЕ КОЛЕБ СИС7 С НЕСКОЛЬК СТЕП СВОБОДЫ 147
Таким образом, движение точки является результатом наложения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Траектория точки заключена внутри прямоугольника, стороны которого параллельны осям Ox и Oy и соответственно равны 2A1 и 2А2, а центр совпадает с точкой О. Если отношение частот Co1 и Co2 — число рациональное, то траектории замкнуты и их называют фигурами Лиссажу. Вид фигур Лиссажу
(O2 ^
зависит от — , —: и от приведенной разности началь-
со
ных фаз Дф = ф1 — — ф2 (рис. 1.6.12). Отношение частот ш2
COg „
— равно отношению числа касании фигуры Лиссажу с
COi
горизонтальной и вертикальной сторонами прямоугольника, в который она вписывается.
Дф = Ч>1 - 4<Р2 Дф = я/4
Дф = Згс/8
Дф = л/2
Дф = 5л/8
Если CO1 = со2, то фигуры Лиссажу имеют форму эллипса:
— + „ A2 А Л1 2
~ COS (ч>2 _ Ч>1> = sin2 (Ч>2 ' Фі)-
A1A2
Такие колебания называют эллиптически поля ризовапными. На рис. 1.6.13 показаны частные слу-
148
1.6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
чаи эллиптически поляризованных колебаний. При Дер = = Ф2 - (P1 = (2ft + 1)^ (ft = 0; ±1; ...) эллипс приведен к
осям Ox и Oy. Если, кроме того, A1 = A2, то траектория точки имеет вид окружности.
Такие колебания называют циркулярно поляризованными (поляризованными по кругу). Если ф2 — P1 = = /от (ft = 0; ±1; +2; ...), то эллипс вырождается в отрезок прямой, и колебания называют линейно поляризованными.
Дф= 0; 2я; ...
У ^2
I ! 0
IA1 х 1 1
Л1Р = | У Г 5 п 2 * ¦" ^2
Ja1 X
-A2
Рис 1.6.13
3 Два одинаковых математических маятника с упругой связью (рис. 1.6.14). Если массой пружины В можно пренебречь, то в случае малых колебаний
и
W,,
_ mgl
(ocf + CC2 j + і al2(a2 - Ct1)2,
где а — коэффициент упругости пружины, т — масса маятника.
1.6.3. МАЛЫЕ КОЛЕБ. Cl/lCT С НЕСКОЛЬК. СТЕП. СВОБОДЫ 149
CX2 + CXi ~
Произведя замену переменных: B1 = —-— и 02 —
а9 - Cx1 = ——^—і , получим
Wk = TtilHe21 +Q22) и Wn = mgl(Q2 +Q22)+ 2o.12q\ .
Координаты G1 и G2 являются нормальными. Уравнения Лагранжа имеют вид