Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
4°. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний системы при приближении циклической частоты возмущающей силы к значению Q0 называют резонансом, а величину П0 — резонансной циклической частотой. Кривые зависимости А от П, показанные на рис. 1.6.9, называют резонансными кривыми.
Увеличение коэффициента затухания 8 приводит к сглаживанию резонансных кривых и уменьшению Amskc, т. е. к значительному ослаблению явления резонанса. ш0
При S > — резонанс полностью исчезает. В прибли-
Л
женных расчетах резонанса в системах с малым затуханием можно считать, что Q0 ж W0.
F
лы F0. Если П 2> со0, то А = —-
. Максимальное зна-
частоты со колебаний системы
(ю= </со0 — 52 ^
А,
1макс 2Sfc0(о '
140
1.6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
5°. Зависимость полной энергии механической системы от времени имеет вид
^ = —2Ф + х F0 cos fit, dt
• 2
где Ф = — диссипативная функция, а х F0 cos Clt —
мощность внешнего источника энергии, вызывающего вынужденные колебания системы.
6°. Если на систему действует произвольная возмущающая сила F(t), период которой равен Т, то эту силу можно разложить в ряд Фурье, т, е. представить в виде суммы гармоник, циклические частоты кото-
2л
рых кратны основной циклической частоте —.
Вынужденные колебания системы, вызываемые силой F(f), являются результатом наложения колебаний системы под действием каждой из гармоник в отдельности. Наиболее сильно влияют на систему те гармоники силы F(t), циклические частоты которых близки к резонансной циклической частоте fi0 системы.
3. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
А. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ
1°. Если система обладает s степенями свободы, то ее положение относительно системы отсчета полностью определяется значениями s независимых обобщенных координат qt(i = 1, 2, ... , s). В состоянии устойчивого равновесия (qt — qi0) потенциальная энергия Wn системы имеет минимальное значение Wrn0, которое в силу условности начала отсчета Wn в дальнейшем принято равным нулю. В случае малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия ее потенциаль-
і 6.3. МАЛЫЕ КОЛЕБ. СИСТ. С НЕСКОЛЬК СТЕП. СВОБОДЫ 141
ная энергия выражается следующей положительно определенной квадратичной формой от обобщенных координат:
2
і,* = 1
где Xj = qt - qi0, xk = qk ~ qk0, a Pife — постоянные вещественные коэффициенты, причем
Кинетическая энергия Wk системы выражается также положительно определенной квадратичной формой от обобщенных скоростей:
В
W«=l S bikxtxk,
i.fe = I
где Ъ1к — постоянные вещественные коэффициенты, причем
dzW„ ]
.=X, = ... = дг = О "
и -и -( а wK Л
ik ы UiiSiJ*,=
2°. Функция Лагранжа системы равна
S
L = K-Wn= § ? (bikxt хк - ^ikXiXk).
и к = 1
Движение системы описывается s уравнениями Лагранжа второго рода, которые имеют вид
S
S + Pukjc*) ~0 0 = 1.2, ..., s). (6.1)
к = 1
3°. Неизвестные функции времени хк следует искать в форме
Xk = Акеш,
где і = ,/^L .
142
I 6 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Соотношения между постоянными коэффициентами Ak определяются из системы однородных линейных алгебраических уравнений
S
S (Р.* “ <*%к) Ak = 0 (і =* 1, 2, ..., в). (6.2)
к= I
Необходимым условием существования отличных от нуля решений этой системы является равенство нулю ее определителя:
Pll-CO2^i1 Pi2-W2^lz ... Pis -Wafcls Р21 с°2^,21 Р22 — ы2^22 P2s~
0.
Psl - <й%1 Рб2 -
82
Pss - V2K
Это уравнение степени s относительно со2 называют характеристическим или вековым. Оно имеет s веще-
2
ственных положительных корней Oi (Z = 1, 2, ... , s). Величины Coi называют собственными, или главными циклическими частотами системы.
2
4°. Для каждого корня O1 из уравнений (6.2) можно найти соответствующую систему значений Ak: Ak =
2
= Ah (O)i ). Общее решение системы (6.1) имеет вид
Xk= ^ Ak( W1 )Ct cos (cojt + Ipi) (k = 1, 2, ..., s), (6.3)
і = I
где Ci, — независимые вещественные постоянные, определяемые из начальных условий:
г= 1
**(°> = " S )С'Ы' sin Фі
г = і
(? - 1, 2, ..., s).
1.6.3. МАЛЫЕ КОЛЕЕ. СИСТ. С НЕСКОЛЬК. СТЕП. СВОБОДЫ 143
Из (6.3) следует, что колебания обобщенной координаты Xk являются результатом наложения s гармонических колебаний, каждое из которых имеет, вообще говоря, произвольные амплитуды и начальные фазы, но вполне определенные циклические частоты сог.
5°. Выражения 0 = Ci cos (cfyt + (Pi), где I = 1,2, ... , s, называют нормальными или главными координатами механической системы. Они связаны с координатами Xk линейным однородным преобразованием:
где alk — постоянные вещественные коэффициенты.
Кинетическая и потенциальная энергии системы, выраженные через нормальные координаты, имеют вид сумм квадратов:
мы, соответствующая нормальной координате Q1. Обычно вместо нормальных координат 0( пользуются норми-
S
** = Y1 А*(“о)0г (fe= 1. 2, ..., s).
і = і
В свою очередь,
S
°г= YlaMxk (г= 2’ —’ s)>