Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Яворский Б.М. -> "Справочник по физике для инженеров и студентов" -> 38

Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.

Яворский Б.М. , Детлаф А.А., Лебедев А.К. Справочник по физике для инженеров и студентов — М.: Оникс, 2006. — 1056 c.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка): spravochnikpofizike2006.djvu
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 307 >> Следующая


4°. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний системы при приближении циклической частоты возмущающей силы к значению Q0 называют резонансом, а величину П0 — резонансной циклической частотой. Кривые зависимости А от П, показанные на рис. 1.6.9, называют резонансными кривыми.

Увеличение коэффициента затухания 8 приводит к сглаживанию резонансных кривых и уменьшению Amskc, т. е. к значительному ослаблению явления резонанса. ш0

При S > — резонанс полностью исчезает. В прибли-

Л

женных расчетах резонанса в системах с малым затуханием можно считать, что Q0 ж W0.

F

лы F0. Если П 2> со0, то А = —-

. Максимальное зна-

частоты со колебаний системы

(ю= </со0 — 52 ^

А,

1макс 2Sfc0(о '
140

1.6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

5°. Зависимость полной энергии механической системы от времени имеет вид

^ = —2Ф + х F0 cos fit, dt

• 2

где Ф = — диссипативная функция, а х F0 cos Clt —

мощность внешнего источника энергии, вызывающего вынужденные колебания системы.

6°. Если на систему действует произвольная возмущающая сила F(t), период которой равен Т, то эту силу можно разложить в ряд Фурье, т, е. представить в виде суммы гармоник, циклические частоты кото-



рых кратны основной циклической частоте —.

Вынужденные колебания системы, вызываемые силой F(f), являются результатом наложения колебаний системы под действием каждой из гармоник в отдельности. Наиболее сильно влияют на систему те гармоники силы F(t), циклические частоты которых близки к резонансной циклической частоте fi0 системы.

3. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

А. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ

1°. Если система обладает s степенями свободы, то ее положение относительно системы отсчета полностью определяется значениями s независимых обобщенных координат qt(i = 1, 2, ... , s). В состоянии устойчивого равновесия (qt — qi0) потенциальная энергия Wn системы имеет минимальное значение Wrn0, которое в силу условности начала отсчета Wn в дальнейшем принято равным нулю. В случае малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия ее потенциаль-
і 6.3. МАЛЫЕ КОЛЕБ. СИСТ. С НЕСКОЛЬК СТЕП. СВОБОДЫ 141

ная энергия выражается следующей положительно определенной квадратичной формой от обобщенных координат:

2

і,* = 1

где Xj = qt - qi0, xk = qk ~ qk0, a Pife — постоянные вещественные коэффициенты, причем

Кинетическая энергия Wk системы выражается также положительно определенной квадратичной формой от обобщенных скоростей:

В

W«=l S bikxtxk,

i.fe = I

где Ъ1к — постоянные вещественные коэффициенты, причем

dzW„ ]

.=X, = ... = дг = О "

и -и -( а wK Л

ik ы UiiSiJ*,=

2°. Функция Лагранжа системы равна

S

L = K-Wn= § ? (bikxt хк - ^ikXiXk).

и к = 1

Движение системы описывается s уравнениями Лагранжа второго рода, которые имеют вид

S

S + Pukjc*) ~0 0 = 1.2, ..., s). (6.1)

к = 1

3°. Неизвестные функции времени хк следует искать в форме

Xk = Акеш,

где і = ,/^L .
142

I 6 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Соотношения между постоянными коэффициентами Ak определяются из системы однородных линейных алгебраических уравнений

S

S (Р.* “ <*%к) Ak = 0 (і =* 1, 2, ..., в). (6.2)

к= I

Необходимым условием существования отличных от нуля решений этой системы является равенство нулю ее определителя:

Pll-CO2^i1 Pi2-W2^lz ... Pis -Wafcls Р21 с°2^,21 Р22 — ы2^22 P2s~

0.

Psl - <й%1 Рб2 -

82

Pss - V2K

Это уравнение степени s относительно со2 называют характеристическим или вековым. Оно имеет s веще-

2

ственных положительных корней Oi (Z = 1, 2, ... , s). Величины Coi называют собственными, или главными циклическими частотами системы.

2

4°. Для каждого корня O1 из уравнений (6.2) можно найти соответствующую систему значений Ak: Ak =

2

= Ah (O)i ). Общее решение системы (6.1) имеет вид

Xk= ^ Ak( W1 )Ct cos (cojt + Ipi) (k = 1, 2, ..., s), (6.3)

і = I

где Ci, — независимые вещественные постоянные, определяемые из начальных условий:

г= 1

**(°> = " S )С'Ы' sin Фі

г = і

(? - 1, 2, ..., s).
1.6.3. МАЛЫЕ КОЛЕЕ. СИСТ. С НЕСКОЛЬК. СТЕП. СВОБОДЫ 143

Из (6.3) следует, что колебания обобщенной координаты Xk являются результатом наложения s гармонических колебаний, каждое из которых имеет, вообще говоря, произвольные амплитуды и начальные фазы, но вполне определенные циклические частоты сог.

5°. Выражения 0 = Ci cos (cfyt + (Pi), где I = 1,2, ... , s, называют нормальными или главными координатами механической системы. Они связаны с координатами Xk линейным однородным преобразованием:

где alk — постоянные вещественные коэффициенты.

Кинетическая и потенциальная энергии системы, выраженные через нормальные координаты, имеют вид сумм квадратов:

мы, соответствующая нормальной координате Q1. Обычно вместо нормальных координат 0( пользуются норми-

S

** = Y1 А*(“о)0г (fe= 1. 2, ..., s).

і = і

В свою очередь,

S

°г= YlaMxk (г= 2’ —’ s)>
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 307 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed