Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
_ TidiG - модуль
о
"тТ
Рис. Г.6.6
1.6.2. МАЛЫЕ КОЛЕБ. СИСТ. С ОДНОЙ СТЕП. СВОБОДЫ
135
Если в системе отсутствует сухое трение, то для случая малых колебаний можно считать, что обобщенная сила трения равна FTp = —гх , где г > О — обобщенный коэффициент трения. Тогда дифференциальное уравнение малых затухающих колебаний системы имеет вид
bQx + гх + P0X = О,
или
х + 2Ъх + CO0 X = 0,
где 6 = — коэффициент затухания, а со0 =
Zb0
циклическая частота свободных колебаний системы в отсутствие трения.
2°. Если 5 > CO0, то имеет место апериодическое движение (апериодическое затухание), уравнение которого •a, t -а»?
х = C1 е + C2 е ,
где (X1 = 6 + Js2 - Ii1Q и а2 = 8 - Jb2 - ii>Q , C1 и C2 — постоянные коэффициенты, зависящие от начальных условий. Если х(0) = JCq и X (0) = Xq , то
«2*0 + ? r Q1X0+ X0
1 “l-«2 ’ 2 «1-«2
В зависимости от начальных условий возможны два типа периодического движения системы (рис. 1.6.7). Движение типа а осуществляется в тех случаях,
когда X0 и Xq противоположны ПО знаку IXq| > Ot1Ix0I. Во
X1 *0
0
Рис. 1.6.7
136
1-6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
всех остальных случаях осуществляется движение типа б. Система, выведенная из состояния равновесия, асимптотически, т. е. при f —» , возвращается в это со-
стояние.
3°. Если 5 < со0, то система совершает затухающие колебания:
где Л0 и ф0 — постоянные величины, определяемые' из
циклическая частота колебаний диссипативной системы. Величину A(t) = А0е~8* называют амплитудой затухающих колебаний. Значения амплитуды для моментов времени t,t + At, t + 2Аt и т. д. образуют убывающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен е~?Лі. Зависимость xcyrt при <р0 = 0 изображена на рис. 1.6.8.
.4°. Периодом (условным периодом) затухающих колебаний называют промежуток времени между двумя последовательными состояниями системы, при которых колеблющаяся величина х проходит через равновесное значение, изменяясь в одном н том же направлении (например, возрастая):
х = .А0е 5f sin (соt + ф0):
начальных условий, а со = К-»2 — собственная
х
Рис 1.6.8
1.6 2. МАЛЫЕ КОЛЕБ СИСТ. С ОДНОЙ СТЕП СВОБОДЫ
137
5°. Логарифмическим декрементом затухания 9 называют натуральный логарифм отношения амплитуд колебаний в моменты времени t и t + Т:
S = In _4Ф__ = 5Т.
A(t + T)
Промежуток времени х, за который амплитуда уменьшается в е ~ 2,71... раз, называют временем ре-
I T
лаксации по амплитуде: х = ^ , 9 = — .
о т
6°. Зависимость полной энергии механической системы от времени имеет вид
W(t) = І b0 Aq е~2Ы [COq - 52 cos (2cot + 2<p0) -
- 5(0 sin (2(01 + 2<p0)], = — rx2, = —2Ф,
dt
, I . Q
где Ф = - rx* — диссипативная функция.
7°. Если затухание механических колебаний системы обусловлено сухим трением И I FTp I = const, то циклическая частота (о затухающих колебаний совпадает с циклической частотой (O0 свободных колебаний той же системы
К
в отсутствие трения (U0 = —
. Убывание амплитуды
происходит по закону арифметической прогрессии: за каждую половину цикла колебания амплитуда уменьша-
2 If і
ется на одинаковую величину 1 тр| . Колебания прекра-
Po
IF I
щаются, как только амплитуда становится меньше L-Lti.
Po
В. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1°. Дифференциальное уравнение малых вынужденных колебаний записывается следующим образом:
Ь0х + г х + P0* = F(t),
или
х +25* +W0X=J- F(t),
bO
где F(t) — обобщенная периодическая внещняя сила, сопряженная с обобщенной координатой х. Силу F(t),
138
1.6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
вызывающую вынужденные колебания системы, называют возмущающей или вынуждающей силой.
2°. Общее решение этого уравнения равно сумме его частного решения JC1 и общего решения X2 CO-
Решение X2 = Л0е ы sin (cof + ф0) характеризует свободные затухающие колебания системы, Iim X2 = О.
Поэтому по истечении некоторого промежутка времени после начала вынужденных колебаний, соответствующего переходному режиму, величиной Xz можно пренебречь и считать, что при установившихся вынужденных колебаниях X = X1.
3°. Если возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:
F(t) = F0 cos Sit,
А,
то установившиеся вынужденные колебания также являются гармоническими, причем совершаются с той же циклической частотой Q:
^CT
X =A cos (Cit + Cp1),
о
Рис. 1.6.9
A =
b0J(io%-R2f + 4SZn2
и
Кривые зависимости от П амплитуды А и угла <pj сдвига фазы вынужденных ко-
лебаний приведены на рис.
Рис. І.6.Ю
1.6.9 и 1.6.10. При П Ci0
\
1.6.2. МАЛЫЕ КОЛЕБ. Cl/lCT. С ОДНОЙ СТЕП СВОБОДЫ 139
амплитуда А ~ Acr
Po
статическая
деформация системы под действием постоянной си-
чение амплитуды -Amsikc соответствует циклической частоте
которая несколько меньше собственной циклической
Из этой формулы следует, что при 5 —> 0 Ambkc —> ~ .
Однако такая экстраполяция неправильна, так как с возрастанием амплитуды колебания перестают быть малыми и к ним неприменима рассмотренная выше теория.
