Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
Если потенциальную энергию отсчитывать от значения в состоянии q = д0, то Wn(q0) = 0, и ряд Тейлора для Wxl(q) имеет вид
Колебания называют малыми, если в правой части этого равенства всеми членами, кроме первого, можно пренебречь, так что
где х = q — q0 — смещение системы из состояния устойчивого равновесия.
2°. Дифференциальное уравнение малых колебаний системы имеет вид
\ 4q)q2, Wn = WB{q),
(g-gp)3 +
И
wK(?) = \ ьШяо = »
b0x + P0X = 0.
I 6 2. МАЛЫЕ КОЛЕБ СИСТ С ОДНОЙ СТЕП СВОБОДЫ 131
d W
Величина P0X = --J--' представляет обобщенную
силу Fx, сопряженную с обобщенной координатой х.
Обобщенную силу Fx = —fi0x, где P0 > O7 называют квазиупругой силой, а величину P0 — коэффициентом квазиупругой силы.
3°. Малые колебания системы являются гармоническими:
х = A cos (co0f + Cp1).
TJf 1^>
Их циклическая частота со0 = I— определяется
AjO0
свойствами системы и называется собственной циклической частотой колебаний консервативной системы.
IiT0
Период колебаний T= 2 я . Амплитуда А и на-
aJ Po
чальная фаза Cp1 определяются из начальных условий. Например, если в момент времени ( = 0* = *0иі = Xq , то
Л~ JxHff- tg(pi
Амплитуда свободных колебаний консервативной системы не зависит от времени. Поэтому такие колебания называют незатухающими.
4°. Кинетическая и потенциальная энергии гармонических колебаний системы являются периодически-
T
ми функциями времени с периодом T' = — = Jt
wk = I ь(Аг too sin2 (tV + Фі)>
Poa2cqS2(<°0f + Фі) = \ bOA2 wO cqS2(coOf + Фі)"
132
I 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Полная механическая энергия гармонических колебаний системы
Примеры.
1. Пружинный маятник— тело, совершающее прямолинейные колебания вдоль оси Ox под действием упругой силы F = -kx (k — коэффициент
масса тела. Циклическая частота и период колебаний равны:
2. Математический маятник — материальная точка М, подвешенная к неподвижной точке на невесомой нерастяжимой нити (или стержне) и совершающая движение в вертикальной плоскости под действием силы тяжести (рис. 1.6.3):
ЬоА2 Mq = const.
жесткости пружины); P0 = k, Wk = і тXz и Ь0 = т —
Wk = і ml2a2, b0 = ml2,
Wn = mgl(I - cos a) = 2 mgl sin2 ^ .
В случае малых колебаний sin ^ ~ ^ >
Период колебаний равен
MI
При произвольных значениях угла отклонения а колебания математического маятника являются нелинейными.
Рис 1.6.3
3. Циклоидальный маятник — материальная точка М, движущаяся под действием силы тяжести вдоль циклоиды, ось которой вертикальна, а выпуклость обра-
1.6.2. МАЛЫЕ КОЛЕБ СИСТ С ОДНОЙ СТЕП СВОБОДЫ 133
щена вниз (рис. 1.6.4). Если за начало отсчета потенциальной энергии точки принять ее значение в вершине циклоиды О' и за обобщенную координату — длину s дуги циклоиды, отсчитываемую от точки О', то
Wk =| ms2 и Wn-rMs2,
так что
о = mg Ро 4Ї’
где а — параметр циклоиды (радиус производящей окружности). Колебания возможны, если полная энергия маятника W = Wk + Wn < 2mga. Колебания циклоидального маятника изохронны, т. е. их период не зависит от амплитуды колебаний и всегда равен
T = 2л .
Ч g
4. Физическии маятник — абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси О, не проходящей через его центр тяжести С (рис. 1.6.5):
^к=\ Ja2, b0 — J,
Wn = mg <2(1 — cos а) = 2 mg d sin2 ^ ,
где а. — угол отклонения из положения равновесия, J— момент инерции тела относительно оси качания О, d — расстояние от оси
О до центра тяжести С.
В случае малых колебаний sin - ~ - , W' »
2 2 п
а і mg da.2 и P0 = mgd. Период колебаний равен
134
I 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Приведенной длиной Inp физического маятника называют длину математического маятника, имеющего
такой же период колебаний: , > d, так как по
пр md
теореме Штейнера — Гюйгенса J = Jc + md2 > mdz. Точку O1, лежащую на линии ОС на расстоянии OO1 = Znp, называют центром качания физического маятника. Точка подвеса О и центр качания O1 обладают взаимностью: при переносе точки подвеса в точку O1 точка О становится центром качания, так что период колебаний маятника не изменяется.
5. Крутильный маятник — твердое тело, подвешенное на вертикальном невесомом упругом стержне (нити), верхний конец которого закреплен неподвижно, а ось Oz совпадает с одной из свободных осей тела (рис. 1.6.6). Крутильные колебания обусловлены упругими силами, возникающими в стержне при его кручении вокруг оси Oz.
В случае малых колебаний Wrlt = | Ja2 и
Wn = і са2, так что Ь0 = J и P0 = с, где a —
угол поворота маятника вокруг оси Oz из положения равновесия, J — момент инерции маятника относительно оси Oz, с — крутильная жесткость стержня.
Период колебаний равен
г-2«?.
В случае однородного круглого стержня с
где d n I — диаметр и длина стержня, а G-сдвига материала стержня.
Б. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
1°. Затухающими колебаниями называют колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Затухание свободных колебаний механической системы обусловлено диссипацией ее энергии вследствие действия на систему непотенциальных сил сопротивления (трения).