Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
Состояния дискретного спектра при больших значениях квантового числа п имеют квазикласси-ческий характер (волновые эффекты выступают как малые поправки). Аналогичная закономерность наблюдается в оптике: волновая оптика переходит в геометрическую при неограниченном уменьшении длины волны, т. е. при увеличении импульса и энергии фотонов.
0(6) = - zVc2.............cosec4 g
#54.чт2р _ т 2ц4 2
647і2є0т2и4
« 2п.
\dx\
784 VI.2. ЗАДАЧИ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТ МЕХАНИКИ
2°. Квазиклассическое приближение сводится к отысканию функции действия S в виде ее разложения в ряд
по степеням -:
і
S = S° +{~і ) + f 7 )2? + -
Дифференциальное уравнение для функции S частицы получают путем подстановки в общее уравнение Шрёдингера волновой функции частицы в виде
VK.„. = exp(f ):
= — (VS)2 - — AS + U.
Э t 2т 2т
- 3°. Подстановка разложения S в это уравнение приводит, с точностью до членов, не содержащих h и про-
порциональных первой степени й, к двум уравнениям: -^^(VS>2 + C7’
-? -S vsO-VS1 + gL AS,
Первое уравнение совпадает с уравнением Гамильтона—Якоби классической механики для функции S0. Следовательно, в нулевом приближении движение частицы происходит по классической траектории. Второе уравнение с помощью выражения для плотности вероятности частицы Pw — |\|/|2 = e2S> приводят к уравнению неразрывности. Оно показывает, что плотность вероятности переносится в пространстве с такой же скоростью и по той же траектории, по которой перемещается частица в классической механике. В квазиклассическом приближении поверхности S = const называют поверхностями равной фазы волновой функции.
4°. В частном случае движения частицы в ограниченной области пространства (например, внутри потенциальной ямы бесконечной глубины) квазиклассическое приближение не всегда применимо. Так, подлетая к стенке ямы, частица тормозится, ее импульс стремится к нулю, а длина волны X —> °о, что противоречит ус-
VI.2.9. ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ 785
ловию применимости квазиклассического метода. Вблизи таких точек поворота нужно искать точное решение ц/ уравнения Шрёдингера, а затем потребовать, чтобы между \|/ и приближенным решением VJZil п осуществлялся плавный переход.
1°. В кристалле массивные атомные ядра движутся во много раз медленнее электронов. Поэтому в первом приближении можно считать, что ядра атомов неподвижны (адиабатическое приближение), а их электрическое поле обладает трехмерной периодичностью. Электроны движутся в этом поле и взаимодействуют между собой. Точное решение такой многоэлектронной задачи невозможно. Его заменяют решением приближенной задачи (приближение Xapmu—Фока) о движении одного электрона в стационарном потенциальном поле {/(г) атомных ядер и всех остальных электронов. Это поле называют самосогласованным полем, оно является периодическим:
где R — вектор, проведенный из какой-либо точки одной элементарной ячейки кристалла в соответствующую точку другой ячейки.
2е. Особенности движения электронов в периодическом поле кристалла можно выяснить на примере одномерного поля U(х), удовлетворяющего условию U(x + а) = = U(x), где а — период поля. Для отыскания возможных значений энергии E электрона и соответствующих собственных функций \j/(jc) нужно решить стационарное уравнение Шрёдингера:
Волновую функцию электрона выбирают в форме пакета плоских волн (Фуръе-разложение):
9. ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ
U(r + R) = Щг),
где k = ? — волновое число, р — импульс электрона. п
786 VI.2. ЗАДАЧИ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТ МЕХАНИКИ і
Потенциальную энергию разлагают в ряд Фурье: Щх)= X Unexv{~^ ) ,
где U^n = Un.
Отыскивают коэффициенты Фурье-разложения c(k) и собственные значения энергии электрона Е.
3°. Уровни энергии электрона в периодическом поле образуют отдельные полосы — зоны разрешенных значений энергии (разрешенные зоны), в каждой из которых энергия зависит от волнового числа k (квазинеп-рерывный энергетический спектр в зоне: E = Ej(K), где j = 1, 2,... — номер зоны).
Разрешенные зоны отделены друг от друга запрещенными зонами — интервалами запрещенных значений энергии электрона. В пределах каждой разрешенной зоны энергия электрона является четной периодической функцией волнового числа:
Е(к,±2~} =W = V
Собственная волновая функция оператора энергии электрона, соответствующая собственному значению Ejk энергии электрона, имеет вид модулированной плоской волны: . ч . v .ml „
Vjfe(X) = ujk(x)elkx,
где Ujk(X) — периодическая функция х с периодом а, конкретное выражение которой зависит от вида функции U(x), характеризующей периодическое поле.
4°. На рис. VI.2.7 показана зависимость Ej от волнового числа для первых трех разрешенных зон. При ЭТОМ, В силу периодичности функции Ej(k), область изменения k ограничена пределами от -5 до +2 (первая
а а
зона Бриллюэна для одномерной решетки). На границах разрешенных зон энергии (т. е. при к = О и k = d E
= О. Соответственно, вблизи от этих значе-
Ck
a J
VI.2.9. ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ 787
